定义和含义

小数，指的是，介于整数之间的数^[1]，其实本质上，小数和分数都是对数集的补充。实际上，如果小数部分是零，这时候小数就特殊化了，成了你非常熟悉的整数。所以，从这个角度来说，整数就是特殊的小数。

小数一般都伴随有小数点，记作" [math]\displaystyle{ . }[/math] "，例如 [math]\displaystyle{ 1.2 }[/math] ， [math]\displaystyle{ 3.5 }[/math] ，小数点是用于分隔一个数的整数部分和小数部分。

小数遵循的依然是十进制系统，小数点落在个位的右下角，所以其实是在个位的数位后面继续细分的数。

层次标注

在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

辅助理解的解释

在理解了进制系统后，你很容易理解左边的数位和它相邻的右边的数位之间的换算。

我们先复习一下一个用代数表示的通用的两位数： [math]\displaystyle{ ab }[/math]

它的实际大小是 [math]\displaystyle{ a \times 10 + b \times 1 }[/math] ，这是因为十进制系统的数位导致的。

这时候，你再思考一下小数点落在了个位的右下角，小数点后的数位其实是在个位的右边，因为小数通用遵循十进制系统，所以小数点右边的紧挨着的数位和个位之间的换算满足十进制。你现在应该可以理解 [math]\displaystyle{ 1.5 }[/math] 的大小了。如果不能，继续看下面基于数轴的理解。

有了数轴的概念，你很容易在数轴上可以找到小数的位置，例如 [math]\displaystyle{ 1.5 }[/math] ，因为我们知道在数轴上，5就是0和10之间的正中间，因为小数和整数一样也遵循十进制系统，所以小数点后一位的数位，相当于把个位上的1再细分成10份，于是就是把1到2之间的间隔分成10份，每一份是 [math]\displaystyle{ 0.1 }[/math] ，而 [math]\displaystyle{ 1.5 }[/math] 又正好是第五份，于是现在1.5在数轴上的位置非常确定了。于是你就知道了1.5的大小了。

这个时候，如果你把小数用数位上的数字和相应数位上的数值相乘后相加的形式表示出来后，你就能彻底看透小数。如果你已经有了代数的思想，那我们来举个例子：ab.cd这个两位整数部分和两位小数部分的小数。

在十进制系统下，这个小数写成：

这时候你发现，小数只不过是整数的延展，一旦把任意小数的表达式写出来，小数点只不过是找到小数部分和整数部分的分隔在哪里，然后放上去就可以。

小数点的移动

在进制系统的基础上，我们知道了小数的数位秘密后，小数点的移动就是小数的以10的倍数在缩放，例如一个小数乘以10以后，就相当于小数点往右移动了一个数位的间隔，一个小数除以10以后，就相当于小数点往左移动了一个数位的间隔。

这部分知识，其实你会发现，如果理解了小数的含义和进制系统后，这部分的知识是你自然就知道的。

而且，其实你在生活中很容易观察到小数点的移动的具体事情。例如，9.9元等于多少角，又等于多少分？3斤等于几两？

回答了这几个问题，你发现，其实小数点的移动你早就知道了，只不过它以另一种身份出现了，就是单位和单位之间的换算。一个带着单位的数，表示的是确切的东西的数量，衡量的标准(也就是单位)不一样，所用的数也需要跟着变化。

小数的运算

在你理解了小数的含义以后，你会发现其实整数的四则运算都可以直接用来小数的运算上，只不过是需要注意一下最后要把小数点放在哪里。

那么问题的关键就是在于，到底要把小数点放在哪里呢？

我们来举个例子：12.34这个两位整数部分和两位小数部分的小数，56.78这个两位整数部分和两位小数部分的小数的加法运算。

在十进制系统下，12.34这个小数写成：

56.78这个小数写成：

由于我们知道，在进制系统中的运算，不过就是对应数位上的运算，只不过如果数位上的数字不够运算后，要借位和进位而已，下面我们来看看：

在运算律的指挥下，我们可以有

这里，每一步都需要思考的很清楚，其实学习的过程中也是，没有经过理性思考的内容不能成为你更进一步思考的基础。

因为我们知道四则运算都可以在本质上看作是加法，于是其他的减法、乘法和除法都是一样的道理。只不过是基于运算的含义，把运算的符号改变一下，采用相对应的运算律而已，就是这么简单，你仔细想一下。

同样，由于我们在抽象的指导下，发现数不过就是对具体事物的数量的抽象，而在代数的指导下可以完成再一次抽象，也就是抽象的抽象，进而可以通过理解一个例子，就把小数的运算推广到所有小数的四则运算中。这就是理解型学习的威力，当然在数学学科中还要大量依靠着抽象、推理才能完成。

分数和小数的关系

有了上面的数轴上分割刻度的例子，你是否想到了分数？分数的含义，就是将一个整体平均分。

所以从数轴的角度来说，分数和小数似乎天然就是有联系的，按照把1份2到3的整数的间隔刻度分成10份，上面的 [math]\displaystyle{ 0.1 }[/math] 也可以写成分数 [math]\displaystyle{ \frac{1}{10} }[/math] 。

另外，你还可以从运算层面感受一下这个自然的过程，有了小数的基本定义后，从分数到小数是很自然的，不信你去试一试 [math]\displaystyle{ \frac{3}{7} }[/math] 等于多少？(提示：根据分数的含义，分数线就是除号，于是分数在运算上自然就是除法)。无论能否除尽，反正它会是一个小数。

下面可以给出一个证明，证明分数是可以表示成有限小数或者是无限循环小数的，看不懂也没关系：

考虑分数[math]\displaystyle{ \frac{m}{n} }[/math]，[math]\displaystyle{ m＜n }[/math]。如果这个分数能化为有限小数，结论成立。如果不能化为有限小数，用m除以n必有余数，显然，这个余数只能取1和[math]\displaystyle{ n-1 }[/math]之间的一个整数。根据除法的运算法则，有余数后的除法需要用0填位。因此，最多n次运算后，某个余数必然还要出现第二次，并且在以后的运算中周期出现，这就形成了循环小数。这就证明了：所有的分数都可以化为有限小数或者无限循环小数^[2]。

有限小数到分数，是非常简单的，由于进制系统，小数的小数部分的数位可以用平均切分一个数位上的值为10份来表示，这是你已经知道的事情，下面我们详细举例说明，例如 [math]\displaystyle{ 0.1 }[/math] 就等于 [math]\displaystyle{ \frac{1}{10} }[/math]。所以 [math]\displaystyle{ 0.2 }[/math] 就等于两份的[math]\displaystyle{ \frac{1}{10} }[/math]， [math]\displaystyle{ 0.12 }[/math] 就等于12份的 [math]\displaystyle{ \frac{1}{100} }[/math] 。

照此使用代数的思想，我们很容易得到可以推广到任意有限小数都可以和分数互相表示的结论。

那么无限小数呢？无限小数中的无限循环小数，可以通过运算来说明白，这也是一个证明过程：

这里我们是随便举了个例子，你可以使用代数的思想来重新证明一遍，然后就可以推广到全部的无限循环小数了。

那么无限不循环小数和分数能否互相表示呢？答案是不能。于是产生了无理数。

于是我们有结论：所有的由整数表示的分数都可以表示为小数，这些数是有理数。无限不循环小数不能表示为由两个整数表示的分数，这些数是无理数。