定义和含义

数轴，指的是，一根带有零点的，有正方向的，可以表示数的直线^[1]。

(图片来源于《小学数学这样学》^[1])

层次标注

在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

辅助理解的解释

先说在前面，数轴这个概念是非常重要的，一旦数和点可以一一对应起来，而且数轴上的点的集合可以代表某个范围内的所有的数，是非常深刻的，代表了代数和几何的统一^[1]。

数轴的正方向、零点和单位长度

数轴为什么要有正方向呢？因为数是有序的，规定一个正方向后，才能有序的把数放到数轴上。

数轴为什么要有零点呢？因为0是数的一个重要的分类点，无论是哪个数集的数，都可以由零分成正数和负数；而且，零还是自然数的起点，这是我们一开始对数的认识。

数轴上的单位长度，或者说是刻度，是我们可以人为规定的，我们可以根据我们要讨论的对象，定义为任意刻度。

有理数在数轴上的表示

这部分内容，如果你知道了有理数的含义，那么你就可以跳过"整数在数轴上的表示"和"有限小数在数轴上的表示"部分，直接看"由整数构成的分数在数轴上的表示"部分。

如果你还不知道有理数，没关系，"整数在数轴上的表示"的部分你是可以看懂的，后面的慢慢随着学习再来理解吧！

整数在数轴上的表示

整数在数轴上的表示，是我们最早接触的数在数轴上的表示。我们很早就从身边的刻度尺上发现整数是可以有序的表示在一根有零点有正方向的直线上的。

一旦我们把1规定为数轴的单位长度，那么相邻的两个数之间的间隔就是1。于是自然数就是从零开始，以1为单位长度表示在数轴上的数。如果从1开始，以1为单位长度表示在数轴上的数，就是正整数。这时候，这些正整数的相反数就是以零为对称中心的数，也就是零左边的那些整数，称为负整数。

于是，在我们定义了以1为单位长度后，我们就可以把所有的整数表示在数轴上。

有限小数在数轴上的表示

有了整数在数轴上的表示，这部分内容仅仅是增加了小数的内容，你很容易看懂的。

假设我们可以把一段线段平均分成几分。那么，小数在数轴上的表示就很简单。因为小数不过就是带小数点的十进制的整数表示，只不过对于整数部分来说，数位的增加意味着所表示的数的增大，对于小数部分来说，数位的增加意味着所表示的数的减小。

所以对于小数而言，如果我们要表示小数部分是一位的小数，只不过就是把刻度为1的整数数轴，每一个刻度再平均分为10份，每一个单位长度表示0.1 。如果是要表示小数部分是两位的小数，那么就是再一次把单位长度为0.1 的刻度再分为10份，以此类推，仅此而已。

由整数构成的分数在数轴上的表示

(图片来源于《小学数学这样学》^[1])

这部分是统一了上面的两部分，而且增加了对于无限循环小数的表示的部分。为什么？这时候你就要去思考由整数构成的分数能够表示哪些数？它可以是整数，只要你把分母变成1，这个分数的值就是分子的值；它可以是无限循环小数，这部分我们在小数和分数的内容作过解释；它可以是有限小数，因为有限小数可以看作是循环数是零的无限循环小数，这部分我们在小数的内容作过解释。那么，只剩下了无限不循环小数，因为无限不循环小数属于无理数，这个在无理数的表示部分讨论。

分数在数轴上的表示，我们回到分数的含义来思考。分数，就是把分母看成是一个整体，因此分数就是看分子的部分占这个整体的多少。

我们取数轴上的一个点A使得OA的长度为[math]\displaystyle{ p }[/math]；同时过O点作数轴的垂线，规定向上为正方向，然后选择这个垂线上的一个点B使得OB的长度为[math]\displaystyle{ q }[/math]；接着选择垂线上的一个点D使得OD的长度为1；过D点作AB的平行线CD，与数轴的交点C就是[math]\displaystyle{ \frac{p}{q} }[/math]的位置。

这里，其实用到的是相似三角形的性质，也就是相似三角形的对应边成比例，我们有：

在上面的过程，我们使用的是字母来讨论，于是，我们知道了所有由整数构成的分数都可以表示在数轴上。这是就是代数的思想的威力，就是抽象的威力！

另外，无限循环小数都可以表示成分数，而且是整数构成的分数，因此只要把无限循环小数转化为分整数构成的分数，就可以用上面的方法表示。

无理数在数轴上的表示

(图片来源于《小学数学这样学》^[1])

我们先来想一下无理数的含义，不是有理数的数，也就是不能由两个整数写成分数的形式的数^[1]，或者是不能够写成两个整数之比的形式的数^[2]。

我们来看一个常见的无理数，[math]\displaystyle{ \sqrt 2 }[/math]。

[math]\displaystyle{ \sqrt {2} }[/math]可以是边长为1的正方形的对角线。我们以数轴上的0到1为其中一条边，画出一个正方形。然后，基于圆的定义，使用画圆的方法(也就是使用圆规)，以零点为圆心，以正方形的对角线为半径，画出一个圆。此时圆和数轴的交点，就是距离零点有[math]\displaystyle{ \sqrt 2 }[/math]的距离的点。所以，那个点就是数轴上的[math]\displaystyle{ \sqrt 2 }[/math]的点。

这里，你验证了无理数也是可以表示在数轴上的，也就是无限不循环小数也可以在数轴上表示。

数轴上的数

至此，有限小数，无限不循环小数和无限循环小数都表示在数轴上了，而且我们可以通过这样的思考，小数分为有限小数和无限小数(二分法，严格分类)，无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数(二分法，严格分类)。所以我们没有漏掉任何小数，又因为分数可以表示为小数，整数也可以表示为小数。于是，如果我们把数轴上的数都看作是小数的话^[1]，那么数轴就已经被小数填满了。