分类:除法

来自Big Physics


定义和含义

除法,本质上来说,指的是重复进行的减法,也就是重复的从一个整体里面去掉一部分,直到没有剩余或者剩余的数量不够再去掉一次[1]

这里,那个整体被称为被除数,去掉的那一部分被称为除数,重复进行去掉的这个操作的次数,被称为商。除法用除号来表示,记作" [math]\displaystyle{ \div }[/math] "。

如果遇到了最后剩下的一部分不够再减一次或者去掉一次的情况,我们就把剩余的这部分称为余数,表示为,

[math]\displaystyle{ \text { 被除数 } \div \text { 除数 }=\text { 商...余数 } }[/math]

层次标注

在这里,它属于第二层知识,即学科概念。

当然,如果你仅仅只是在使用它的计算操作,那么它就是第一层知识,即程序性知识。

辅助理解的解释

值得注意的是,在除法中,我们暂时规定一下,除数不能是,因为除法就是重复的减法,也就是减法的简便运算,重复减去零,看能减几次的时候,你会发现永远都减不完,这时候就会直接进入一个你现在很难处理的数学对象,无穷大。于是在这个阶段,我们不讨论这个情况。以后到了大学阶段的数学数学,你会明白的。

"除"和"除以"的辨析

这里,需要注意的是,当我们说"除"的时候,一般是"除数"除"被除数",例如当被除数是20,除数是4的时候,也就是[math]\displaystyle{ 20 \div 4 }[/math] ,可以说是4除20 。

当我们说"除以"的时候,一般是"被除数"除以"除数",例如当被除数是20,除数是4的时候,也就是[math]\displaystyle{ 20 \div 4 }[/math] ,可以说是20除以4 。

平均分

平均分,仔细想想过程,例如将8个馅饼平均分给4个小朋友吃,其实过程是先每人从整体中拿一个馅饼(用减法来思考就是 [math]\displaystyle{ 8(个)- 4 (个) }[/math] ),在每人都有一个馅饼的时候(此时,总体就剩下 [math]\displaystyle{ 8(个)- 4(个)=4(个) }[/math] 馅饼),再继续从整体中每人再拿一个馅饼( [math]\displaystyle{ 4(个)- 4(个)=0(个) }[/math] 馅饼)。一直重复这个过程下去,直到馅饼不够分或者正好分完。在这里,其实你发现分两次就刚好分完。这个过程,就是除法的定义。于是,平均分也就是在作除法运算。

以上过程用除法可以写成:

[math]\displaystyle{ 8(个) \div 4(人) = 2(个/人) }[/math]

如果是9个馅饼平均分给4个小朋友吃,就会有剩下的情况:

[math]\displaystyle{ 9(个) \div 4 (人)=2(个/人) \cdots \cdots 1 (个) }[/math]

这里 [math]\displaystyle{ \cdots \cdots }[/math] 就是表示余数的记号,1就是余数。

在这里,看到了含义上的联系,就使用化归的思想来把需要新学习的概念(除法)化归到已学习的概念(减法)上。

以上就是除法最基本的定义和使用,请尽量去生活中使用除法去代替重复的减法来做简便运算吧,在使用前每次都思考和回忆一下除法的含义。

用乘法来计算除法

回到定义上,乘法的重复多次的加法,除法是重复多次的减法,而我们已经知道了减法可以用加法来计算,那么我们猜测除法是不是可以用乘法来计算?

刚才的问题,我们来问,4个小朋友每人吃2个馅饼,总共会吃掉多少个馅饼?

于是我们有 [math]\displaystyle{ 4(人)\times 2(个/人)= 8(个) }[/math]

对比上面的除法,你会发现,乘法和除法就是完全反过来的两个运算,所以除法就是乘法的逆运算。 除法的列竖式计算就是依靠除法就是乘法的逆运算来操作的。只不过要经历,从最高位开始,"猜测——乘法——减法","得到余数,拉下来下一位",继续"猜测——乘法——减法",直到"余数小于除数"为止的过程[1]

这时候,你发现,如果换一个视角,我们基于可以用加法来计算减法,结合乘法是重复多次的加法和除法是重复多次的减法,很自然就能思考到是不是可以用乘法来计算除法[1]。于是,通过这样一个视角,我们很自然的看到了乘法和除法的关系。我们在做任何的数学运算时,都需要随时回到含义来思考运算的意义[1],来帮助我们更好的理解数学。

顺便,这里同样是化归的思想的体现,我们从除法化归到乘法,从未知概念化归到了已知的概念。

  1. 1.0 1.1 1.2 1.3 吴金闪,《小数数学这样学》,浙江人民出版社,2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books

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