定义和含义

加法，在数数的基础上，其含义就是合起来数一数^[1]，于是加法的本质还是数数。

这里，合起来数一数的必须是同一种东西，也必须单位相同。

合起来数一数的对象，被称为加数，得到的数称为和。加法用记号" [math]\displaystyle{ + }[/math]" 来表示，成为加号。

层次标注

在这里，当你讨论加法的含义时，它属于第二层知识，即学科概念。

如果你只是讨论加法的计算方法或者流程时，它属于第一层知识，即流程性知识。

辅助理解的解释

刚开始学加法时的解释

加法不过就是合起来数一数。但是数的不是这个东西本身，而是这个东西的数量。所以加法实际的操作对象是数，而不是东西。

(图片来源于《小学数学这样学》^[1])

例如我和妹妹早上吃鸡蛋^[1]，我有 [math]\displaystyle{ 1个鸡蛋 }[/math] ，妹妹有 [math]\displaystyle{ 1个鸡蛋 }[/math] ，要想知道我和妹妹总共有多少鸡蛋，就把我和妹妹的鸡蛋放在一起数一数。这个合起来数一数的过程，用运算来表示的话，就是加法。

如果用数学的语言来表示，如下： [math]\displaystyle{ 1(个鸡蛋)+1(个鸡蛋)= 2(个鸡蛋) }[/math]

当你能写下这个算式时，你已经很厉害了，因为你完成了用数学的语言去描述世界，这已经是数学这个学科对于我们的最主要的作用了。以后在数学的学习中，试着多去体会数学是描述世界的语言这句话。

但是，要注意，因为数数是要带着单位来数的，所以合起来数一数，也就是加法，也需要带着单位。

加法作为一个非常基础的运算，是乘法、减法、除法以及更复杂的运算的基础，它们的联系你可以在那些运算的解释中看到。

等你在实际运用当中对加法有了更深一步了解后，试着体会这句话：在共同的单位的度量下，加法加起来的不是东西而是东西的数量，于是加法可以超越具体的对象^[1]。

等你对代数有了解后，你可以感受到，加法本质上是参与加法的运算对象之间的关系，也就是说，运算就是关系的表达^[1]。

实际上，并不是说只要有数，就可以直接拿过来算的，必须要考虑算出来的东西是什么含义，要让这个含义有真实的对应^[1]。

加法在数轴上的实现

在学习了数轴以后，数轴上的加法就是在第一个正整数的基础上，再往这个数的右边数第二个正整数那么多格；另外，我们还可以把加法看作是把两个数对应的线段连接起来^[1]。

我们可以看到数有序的表示在数轴上。以[math]\displaystyle{ 4+2 }[/math]为例，对于4来说，就是从0开始画一条0到4的线段，并注意此时我们画线的方向的方向是沿着数轴的正方向进行的。对于2来说，同样也是画一条从0到2的线段，而且画线的方向也是沿着正方向的。此时，我们来进行[math]\displaystyle{ 4+2 }[/math]的画线，由于两个数的线段的画线方向都是沿着正方向的，于是我们就把两条线段连接起来，也就是在画出4的时候，继续沿着正方向画2，于是我们就停在了6上，所以我们有[math]\displaystyle{ 4+2 =6 }[/math] 。

在有了负数的概念后，例如[math]\displaystyle{ 4+(-2) }[/math]，你很容易在数轴上找到[math]\displaystyle{ -2 }[/math]的数，也就是2的相反数。也就是先找到2，然后沿着0向数轴的负方向找到距离0的距离为2的点，相当于[math]\displaystyle{ 2 \times (-1) }[/math]，于是你从0向着-2画线，你注意到此时我们画线的方向的方向是沿着数轴的负方向进行的。于是在进行[math]\displaystyle{ 4+(-2) }[/math]时，我们先沿着数轴正方向从0画到4，然后因为[math]\displaystyle{ -2 }[/math]的画线是沿着负方向进行的，所以当我们画到4时，我们要掉转方向，沿着负方向画2，于是我们最后停在了2，所以我们有[math]\displaystyle{ 4+(-2) = 2 }[/math]。

通过这里的"把两个数对应的线段连接起来"的原理性解释(在学习了矢量以后，你会发现这样的解释的统一性)，我们可以稍微总结一下，在数轴上，如果是[math]\displaystyle{ a }[/math]加上一个正数[math]\displaystyle{ b }[/math]，就是在数轴上a点的位置，向正方向前进[math]\displaystyle{ b }[/math]；如果是[math]\displaystyle{ a }[/math]加上一个负数[math]\displaystyle{ b }[/math]，就是在数轴上[math]\displaystyle{ a }[/math]点的位置，向负方向前进[math]\displaystyle{ b }[/math]。注意，在你想明白了上面的原理后，你是可以直接使用这里的结论的。但是一定是先明白为什么，不明白为什么会得到这样的结果的结论是不能称为你下一步思考的基础的，这就是批判性思维。

如果你已经学会了减法和加法是统一的，那么我们再来看看[math]\displaystyle{ 4-2 }[/math]。你会知道，[math]\displaystyle{ 4-2 }[/math]不过就是相当于[math]\displaystyle{ 4+(-2) }[/math]，于是又回到了上面的情况。

如果你再犀利一些，提出了[math]\displaystyle{ 4-(-2) }[/math]这样的问题，你可以去运算律看看括号外面的负号，你会发现，[math]\displaystyle{ 4-(-2) }[/math]可以等价为[math]\displaystyle{ 4+2 }[/math]。

加法和减法的统一

学习了负数以后，你有没有发现，负号和减号是一样的，是由于如果从加法的角度来理解减法时，你会发现，只不过是相当于加上了一个负数。

也就是，一个正数减去另一个正数，可以看作是一个正数加上一个负数^[1]。形如： [math]\displaystyle{ a-b=a+(-b) }[/math] 。

于是，更进一步，在有了负数以后，我们以后就把减法和加法都统称为加法了。你看，多么伟大的进步！我们学会的东西越来越多，但是需要掌握的东西越来越少，这也是化归的思想在发挥作用。

在学会了数轴上的加法以后，你只要额外再知道一点知识(其实你本来也会的)，就是负数本身是在数轴上零点的左边，于是加上一个负数在数轴上的表示，就是从零点出发沿着数轴画一条指向到负数的有方向的线段，然后你就自然明白了为什么有了负数以后，加法和减法就是统一的了。

具体来说就是，如果我们以 [math]\displaystyle{ 4+(-3) }[/math]为例:

首先，"4"在数轴上的表示，从零点出发画一条指向到"4"的有方向的线段，方向是数轴正方向。此时，我们再加上"-3"。我们先在数轴上把"-3"表示出来，和刚才一样，从零点出发画一条指向到"-3"的有方向的线段，方向是数轴负方向。然后，我们按照数轴上加法的定义，就是把线段首尾相连的连接一起，于是我们从"4"的线段的尾巴开始，把"-3"的线段平移过来，使得首尾相连，于是我们发现，停在了数字"1"的位置。

同时，我们知道，""[math]\displaystyle{ 4-3 }[/math]"在数轴上的表示，也是先找到"4"在数轴上的表示，然后找到"3"在数轴上的表示，只不过我们知道，进行减法时要把线段的方向掉转，也就是从正方向掉转成负方向，于是把线段首尾相连，发现最后也停在了数字"1"的位置。

仔细想想上面的两个过程，你发现，它们的统一就出现在了"3"的数的表示的线段，在进行减法掉转方向的后，其实是和"-3"的数的表示的线段，完全重合。于是，你有没有明白，加法和减法真的就是统一的。

此时，如果你已经学会了相反数，那么上面最后的流程你也能轻松再总结出来，也就是"一个数加上一个负数等价于减去这个负数的相反数"。

那么，如果是一个数减去一个负数呢？无非就是通过减号掉转了负数表示的线段，然后首尾相连，仅此而已。试一试然后总结一下吧！