分类:减法

来自Big Physics


定义和含义

减法,从本质上来说,就是从整体中去掉一部分[1]。至于去掉一部分以后还剩下多少,则可以通过数数来确定。这里,所去掉的和整体是一种东西,也必须单位相同[1]。那个整体被称为被减数,去掉的一部分被称为减数,得到的数称为差。减法用记号 "[math]\displaystyle{ - }[/math]" 来表示,称为减号。

学习了负数相反数以后,你会知道,加法和减法是统一的。

层次标注

在这里,它属于第二层知识,即学科概念。

当然,如果你仅仅只是在使用它的计算操作,那么它就是第一层知识,即程序性知识。

辅助理解的解释

刚接触减法时的解释

下面举个例子来看减法运算:

我和妹妹数苹果
我和妹妹比一比苹果的数量

(图片来源于《小学数学这样学》[1])

例如我和妹妹早上吃苹果,我有4个苹果,妹妹有3个苹果 ,要想知道我和妹妹总共有多少苹果,就把我和妹妹的苹果放在一起数一数。这些都是我们在加法中已经学会的内容。 如果用数学的语言来表示,如下:

[math]\displaystyle{ 4(个苹果)+3(个苹果)= 7(个苹果) \quad }[/math] (加法)

这时候,妹妹吃了2个苹果,要想知道现在我和妹妹总共有多少苹果,我们只要再数一数剩下的苹果有多少个就行。数完以后,发现有5个。

如果用数学的语言来表示,如下:

[math]\displaystyle{ 7(个苹果)- 2(个苹果)= 5(个苹果) \quad }[/math] (减法)

在这里,在妹妹吃完苹果之后,我们数了数剩下的苹果是5个,所以结果等于5 。但是要表示这个过程,我们需要用到减法,于是我们才有了上面的等式。

当然,如果我和妹妹都不吃苹果,我们只想比一比我和妹妹的苹果的个数。于是我拿出一个苹果,妹妹拿出一个苹果,然后我接着拿出一个苹果,妹妹继续拿出一个苹果。这时候,我的苹果已经被拿完了,这时候数一数,妹妹还剩下一个苹果,于是可以知道,我的苹果多,比妹妹多一个。

如果用数学的语言来表示,如下:

[math]\displaystyle{ 4(个苹果)- 3(个苹果)= 1(个苹果) \quad }[/math](减法)

于是我们发现,把不同东西的数量拿来比一比在运算上,"从整体中去掉一部分后,再合起来数一数"和"比一比"是统一的。

于是你可以把比一比理解为从整体去掉一部分,只不过是把多的那部分看作整体,把少的那部分看作是一部分,然后从整体中去掉。

用加法来计算减法

由于加法的朴素定义是,合起来数一数,最基础的就是把两部分合成整体来数一数。而减法的定义是从整体中去掉一部分看看还剩下多少。我们发现,减法和加法都是关于整体和两个部分之间的关系。

所以我们猜测,减法可以用加法来计算。我们来看下面的例子:

桌子上总共有5个鸡蛋,我要吃3个鸡蛋,请问我吃完还剩下几个鸡蛋?

[math]\displaystyle{ 5(个鸡蛋)- 3(个鸡蛋)= 2(个鸡蛋) }[/math]

如果问题反过来,问:我吃了3个鸡蛋,这时候桌子上还剩下2个鸡蛋,请问桌子上原来总共有多少个鸡蛋?

[math]\displaystyle{ 2(个鸡蛋)+ 3(个鸡蛋)= 5(个鸡蛋) }[/math]

这时候,你发现,如果换一个视角,我们把从整体中去掉的一部分和剩下的部分,合起来数一数,得到的自然就是整体。于是,通过这样一个视角,我们很自然的看到了减法和加法的关系。也就是把被减数当作加法计算的结果,然后来问减数加上多少会得到被减数[1]

所以说,我们要深刻思考,关注计算的含义,思考清楚算出来的东西和用来算的东西之间有什么关系,以及通过含义来决定到底用什么运算,为什么用这个运算,是否还能用别的关系和运算,这个题是否帮助我更好地理解某个概念某个知识[1]

减法在数轴上的实现

减法在数轴上的实现,简单来说就是在第一个正整数的基础上,再往这个数的左边数第二个正整数那么多格[1]

当你学会了数轴相反数负数以及加法在数轴上的实现上后,对于[math]\displaystyle{ a-b }[/math],我们只不过是先找到[math]\displaystyle{ b }[/math]的相反数[math]\displaystyle{ -b }[/math],然后在负数的基础上,使用减法和加法的统一,把[math]\displaystyle{ a-b }[/math]变成了[math]\displaystyle{ a+(-b) }[/math],于是我们可以继续使用数轴上的加法来完成减法。

加法和减法的统一

学习了负数以后,你有没有发现,负号和减号是一样的,是由于如果从加法的角度来理解减法时,你会发现,只不过是相当于加上了一个负数。

也就是,一个正数减去另一个正数,可以看作是一个正数加上一个负数[1]。形如: [math]\displaystyle{ a-b=a+(-b) }[/math]

于是,更进一步,在有了负数以后,我们以后就把减法和加法都统称为加法了。你看,多么伟大的进步!我们学会的东西越来越多,但是需要掌握的东西越来越少,这也是化归的思想在发挥作用。

在学会了数轴上的加法以后,你只要额外再知道一点知识(其实你本来也会的),就是负数本身是在数轴上零点的左边,于是加上一个负数在数轴上的表示,就是从零点出发沿着数轴画一条指向到负数的有方向的线段,然后你就自然明白了为什么有了负数以后,加法和减法就是统一的了。

具体来说就是,如果我们以 [math]\displaystyle{ 4+(-3) }[/math]为例:

首先,"4"在数轴上的表示,从零点出发画一条指向到"4"的有方向的线段,方向是数轴正方向。此时,我们再加上"-3"。我们先在数轴上把"-3"表示出来,和刚才一样,从零点出发画一条指向到"-3"的有方向的线段,方向是数轴负方向。然后,我们按照数轴上加法的定义,就是把线段首尾相连的连接一起,于是我们从"4"的线段的尾巴开始,把"-3"的线段平移过来,使得首尾相连,于是我们发现,停在了数字"1"的位置。

同时,我们知道,""[math]\displaystyle{ 4-3 }[/math]"在数轴上的表示,也是先找到"4"在数轴上的表示,然后找到"3"在数轴上的表示,只不过我们知道,进行减法时要把线段的方向掉转,也就是从正方向掉转成负方向,于是把线段首尾相连,发现最后也停在了数字"1"的位置。

仔细想想上面的两个过程,你发现,它们的统一就出现在了"3"的数的表示的线段,在进行减法掉转方向的后,其实是和"-3"的数的表示的线段,完全重合。于是,你有没有明白,加法和减法真的就是统一的。

此时,如果你已经学会了相反数,那么上面最后的流程你也能轻松再总结出来,也就是"一个数加上一个负数等价于减去这个负数的相反数"。

那么,如果是一个数减去一个负数呢?无非就是通过减号掉转了负数表示的线段,然后首尾相连,仅此而已。试一试然后总结一下吧!

  1. 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 吴金闪,《小数数学这样学》,浙江人民出版社,2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books

本分类目前不含有任何页面或媒体文件。