定义和含义

加法，在数数的基础上，其含义就是合起来数一数^[1]，于是加法的本质还是数数。

这里，合起来数一数的必须是同一种东西，也必须单位相同。

合起来数一数的对象，被称为加数，得到的数称为和。加法用记号" [math]\displaystyle{ + }[/math]" 来表示，成为加号。

层次标注

在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

辅助理解的解释

刚开始学加法时的解释

加法不过就是合起来数一数。但是数的不是这个东西本身，而是这个东西的数量。所以加法实际的操作对象是数，而不是东西。

例如我和妹妹早上吃鸡蛋，我有 [math]\displaystyle{ 1个鸡蛋 }[/math] ，妹妹有 [math]\displaystyle{ 2个鸡蛋 }[/math] ，要想知道我和妹妹总共有多少鸡蛋，就把我和妹妹的鸡蛋放在一起数一数。这个合起来数一数的过程，用运算来表示的话，就是加法。

如果用数学的语言来表示，如下： [math]\displaystyle{ 1(个鸡蛋)+2(个鸡蛋)= 3(个鸡蛋) }[/math]

当你能写下这个算式时，你已经很厉害了，因为你完成了用数学的语言去描述世界，这已经是数学这个学科对于我们的最主要的作用了。以后在数学的学习中，试着多去体会数学是描述世界的语言这句话。

但是，要注意，因为数数是要带着单位来数的，所以合起来数一数，也就是加法，也需要带着单位。

加法作为一个非常基础的运算，是乘法、减法、除法以及更复杂的运算的基础，它们的联系你可以在那些运算的解释中看到。

等你在实际运用当中对加法有了更深一步了解后，试着体会这句话：在共同的单位的度量下，加法加起来的不是东西而是东西的数量，于是加法可以超越具体的对象^[1]。

等你对代数有了解后，你可以感受到，加法本质上是参与加法的运算对象之间的关系，也就是说，运算就是关系的表达^[1]。

实际上，并不是说只要有数，就可以直接拿过来算的，必须要考虑算出来的东西是什么含义，要让这个含义有真实的对应^[1]。

加法在数轴上的实现

在学习了数轴以后，我们知道加法就是把两个数对应的线段连接起来^[1]。

我们可以看到数有序的表示在数轴上。以[math]\displaystyle{ 4+2 }[/math]为例，对于4来说，就是从0开始画一条0到4的线段，并注意此时我们画线的方向的方向是沿着数轴的正方向进行的。对于2来说，同样也是画一条从0到2的线段，而且画线的方向也是沿着正方向的。此时，我们来进行[math]\displaystyle{ 4+2 }[/math]的画线，由于两个数的线段的画线方向都是沿着正方向的，于是我们就把两条线段连接起来，也就是在画出4的时候，继续沿着正方向画2，于是我们就停在了6上，所以我们有[math]\displaystyle{ 4+2 =6 }[/math] 。

在有了负数的概念后，例如[math]\displaystyle{ 4+(-2) }[/math]，你很容易在数轴上找到[math]\displaystyle{ -2 }[/math]的数，也就是2的相反数。也就是先找到2，然后沿着0向数轴的负方向找到距离0的距离为2的点，相当于[math]\displaystyle{ 2 \times (-1) }[/math]，于是你从0向着-2画线，你注意到此时我们画线的方向的方向是沿着数轴的负方向进行的。于是在进行[math]\displaystyle{ 4+(-2) }[/math]时，我们先沿着数轴正方向从0画到4，然后因为[math]\displaystyle{ -2 }[/math]的画线是沿着负方向进行的，所以当我们画到4时，我们要掉转方向，沿着负方向画2，于是我们最后停在了2，所以我们有[math]\displaystyle{ 4+(-2) = 2 }[/math]。

通过这里的"把两个数对应的线段连接起来"的原理性解释(在学习了矢量以后，你会发现这样的解释的统一性)，我们可以稍微总结一下，在数轴上，如果是[math]\displaystyle{ a }[/math]加上一个正数[math]\displaystyle{ b }[/math]，就是在数轴上a点的位置，向正方向前进[math]\displaystyle{ b }[/math]；如果是[math]\displaystyle{ a }[/math]加上一个负数[math]\displaystyle{ b }[/math]，就是在数轴上[math]\displaystyle{ a }[/math]点的位置，向负方向前进[math]\displaystyle{ b }[/math]。注意，在你想明白了上面的原理后，你是可以直接使用这里的结论的。但是一定是先明白为什么，不明白为什么会得到这样的结果的结论是不能称为你下一步思考的基础的，这就是批判性思维^[2]。

如果你已经学会了减法和加法是统一的，那么我们再来看看[math]\displaystyle{ 4-2 }[/math]。你会知道，[math]\displaystyle{ 4-2 }[/math]不过就是相当于[math]\displaystyle{ 4+(-2) }[/math]，于是又回到了上面的情况。

如果你再犀利一些，提出了[math]\displaystyle{ 4-(-2) }[/math]这样的问题，你可以去运算律看看括号外面的负号，你会发现，[math]\displaystyle{ 4-(-2) }[/math]可以等价为[math]\displaystyle{ 4+2 }[/math]。

加法再上升一些

这里，我们力求你再努力思考一下。后面，你可以通过这样的特性在更多的对象和关系看到他们的联系。对于以后的任何运算，例如乘法，你也可以考察下面这些性质，等你从加法学会了下面这些性质，试着去看看乘法是否符合这些性质吧。

封闭性

如果对于任何的两个整数，使用加法后，它们的和也是一个整数，那么我们就说加法在整数集上是封闭的，也就是具有封闭性。

结合性

结合性其实就是结合律，对于加法来说，就是加法结合律。也就是[math]\displaystyle{ (a+b)+c=a+(b+c) }[/math]。

对于任何的操作，我们都可以考察它是否具有结合性。

只是我们把它在这里放在一起提出来，是为了你以后学习到更抽象的数学的时候，可以以这里的小版块的知识为整体来理解。

交换性

交换性其实就是交换律，对于加法来说，就是加法交换律。也就是[math]\displaystyle{ a+b=b+a }[/math]。

对于任何的操作，我们都可以考察它是否具有交换性。

只是我们把它在这里放在一起提出来，是为了你以后学习到更抽象的数学的时候，可以以这里的小版块的知识为整体来理解。

单位元

单位元，就是对于某个操作来说，这个操作所作用于的所有对象，可以找得到一个特别的对象[math]\displaystyle{ I }[/math]使得在所有对象中，使得任何一个对象[math]\displaystyle{ A }[/math]和这个特别的对象[math]\displaystyle{ I }[/math]进行完操作以后，还是会得到这个原有的对象[math]\displaystyle{ A }[/math]。

对于加法来说，加法单位元就是零。因为，任何一个数加上零以后都等于它本身。符合单位元的定义。

对于任何的操作，我们都可以考察它是否具有单位元。

逆元

逆元，在单位元的基础上，在给定的操作下，逆元就是对于任何一个对象来说可以找得到另一个对象使得两个对象进行操作以后，总是可以得到这个操作下的单位元。此时，这两个对象就是互为逆元。

对于加法来说，如果你学了负数和数轴以后，你会发现对于任何一个数来说，只需要在数轴上找到和它关于原点对称的点，那两个点对应的数就是互为逆元的数。

对于任何的操作，我们都可以考察它是否具有逆元。