1. 1. 除法

定义和含义

除法，本质上来说，指的是重复进行的减法，也就是重复的从一个整体里面去掉一部分，直到没有剩余或者剩余的数量不够再去掉一次^[1]。

这里，那个整体被称为被除数，去掉的那一部分被称为除数，重复进行去掉的这个操作的次数，被称为商。除法用除号来表示，记作 [math]\displaystyle{ \div }[/math] 。

如果遇到了最后剩下的一部分不够再减一次或者去掉一次的情况，我们就把剩余的这部分称为余数。

表示为 [math]\displaystyle{ \text { 被除数 } \div \text { 除数 }=\text { 商... 余数 } }[/math] 。

层次标注

在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

辅助理解的解释

平均分

平均分，仔细想想过程，例如将8个馅饼平均分给4个小朋友吃，其实过程是先每人从整体中拿一个馅饼(用减法来思考就是 [math]\displaystyle{ 8(个)- 4 (个) }[/math] )，在每人都有一个馅饼的时候(此时，总体就剩下 [math]\displaystyle{ 8(个)- 4(个)=4(个) }[/math] 馅饼)，再继续从整体中每人再拿一个馅饼( [math]\displaystyle{ 4(个)- 4(个)=0(个) }[/math] 馅饼)。一直重复这个过程下去，直到馅饼不够分或者正好分完。在这里，其实你发现分两次就刚好分完。这个过程，就是除法的定义。于是，平均分也就是在作除法运算。

以上过程用除法可以写成： [math]\displaystyle{ 8(个) \div 4(人) = 2(个/人) }[/math] 。

如果是9个馅饼平均分给4个小朋友吃，就会有剩下的情况： [math]\displaystyle{ 9(个) \div 4 (人)=2(个/人) \cdots \cdots 1 (个) }[/math] ，这里 [math]\displaystyle{ \cdots \cdots }[/math] 就是表示余数的记号，1就是余数。

在这里，看到了含义上的联系，就使用化归的思想来把需要新学习的概念(除法)化归到已学习的概念(减法)上。

以上就是除法最基本的定义和使用，请尽量去生活中使用除法去代替重复的减法来做简便运算吧，在使用前每次都思考和回忆一下除法的含义。

用乘法来计算除法

回到定义上，乘法的重复多次的加法，除法是重复多次的减法，而我们已经知道了减法可以用加法来计算，那么我们猜测除法是不是可以用乘法来计算？

刚才的问题，我们来问，4个小朋友每人吃2个馅饼，总共会吃掉多少个馅饼？

于是我们有 [math]\displaystyle{ 4(人)\times 2(个/人)= 8(个) }[/math] 。

对比上面的除法，你会发现，乘法和除法就是完全反过来的两个运算，所以除法就是乘法的逆运算。 除法的列竖式计算就是依靠除法就是乘法的逆运算来操作的。只不过要经历，从最高位开始，"猜测——乘法——减法"，"得到余数，拉下来下一位"，继续"猜测——乘法——减法"，直到"余数小于除数"为止的过程^[1]。

这时候，你发现，如果换一个视角，我们基于可以用加法来计算减法，结合乘法是重复多次的加法和除法是重复多次的减法，很自然就能思考到是不是可以用乘法来计算除法^[1]。于是，通过这样一个视角，我们很自然的看到了乘法和除法的关系。我们在做任何的数学运算时，都需要随时回到含义来思考运算的意义^[1]，来帮助我们更好的理解数学。

顺便，这里同样是化归的思想的体现，我们从除法化归到乘法，从未知概念化归到了已知的概念。

整除

整除，指的是，两个自然数相除，当被除数、除数和商都是自然数，并且余数为零的时候，我们称被除数可以被除数整除^[1]。

例如， [math]\displaystyle{ 2 \div 2=1 }[/math] ，所以，2能够被2整除。

例如，[math]\displaystyle{ 3 \div 2=1 \cdots \cdots 1 }[/math] ，所以，3不能够被2整除。

例如，[math]\displaystyle{ 4 \div 2=2 }[/math]，所以，4能够被2整除。

例如，[math]\displaystyle{ 5 \div 3=1 \cdots \cdots 2 }[/math] ，所以，5不能够被3整除。

例如，[math]\displaystyle{ 0 \div 9=0 }[/math] ，余数为零，所以，0能够被9整除。

但是，由于0不能当除数，因此也不能讨论什么东西被零整除的问题^[1]。