定义和含义

垂线，指的是，相互垂直的两条直线、射线或者是线段，互为彼此的垂线。

层次标注

在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

辅助理解的解释

如果直线[math]\displaystyle{ l_{1} }[/math]垂直于直线[math]\displaystyle{ l_{2} }[/math]，那么我们可以说，直线[math]\displaystyle{ l_{1} }[/math]是直线[math]\displaystyle{ l_{2} }[/math]的垂线，同时也可以说直线[math]\displaystyle{ l_{2} }[/math]是直线[math]\displaystyle{ l_{1} }[/math]的垂线。

关于垂直和垂线，我们重点要介绍的是如何基于尺规作图，来完成过直线上一点作直线的垂线。

过直线上一点作直线的垂线

(图片来源于《小学数学这样学》^[1])

这里使用的方法是尺规作图，因此作图本身就是数学证明的过程。它是基于直线存在和唯一性定理。

以下是摘自《小学数学这样学》的内容^[1]：

如图所示，给定一条直线 [math]\displaystyle{ l }[/math] 和直线上的一点 [math]\displaystyle{ O }[/math] , 作一条经过 [math]\displaystyle{ O }[/math] 垂直于 [math]\displaystyle{ l }[/math] 的直线。

我们要作出来的是一条过 [math]\displaystyle{ O }[/math] 点的直线, 按照两点确定一条直线, 我们 只需要再找出来一个点就行。我们先给出来作图方法, 再来证明这个方法得到的正好就是垂线。

作图方法

如上图所示, 我们有直线 [math]\displaystyle{ l }[/math] 和直线上一点 [math]\displaystyle{ O }[/math] 。我们任意选取一点 [math]\displaystyle{ P }[/math] , 然后找到一点 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ O Q=O P }[/math] 。这个只需要用圆规来寻找 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 点就行。 最后, 我们用圆规选取 [math]\displaystyle{ P }[/math] 点为圆心, [math]\displaystyle{ P Q }[/math] 长度为半径作圆, 同时选取 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 点 为圆心, [math]\displaystyle{ P Q }[/math] 长度为半径作圆, 两个圆相交于点 [math]\displaystyle{ M }[/math] 。把 [math]\displaystyle{ O M }[/math] 连起来就是所要找的垂线。

数学证明

证明 ：首先, [math]\displaystyle{ \triangle M P Q }[/math] 是一个等腰三角形, 所以, [math]\displaystyle{ \angle M P Q=\angle M Q P }[/math] 。同时,在 [math]\displaystyle{ \triangle M P O }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \triangle M Q O }[/math] 中, [math]\displaystyle{ M P=M Q }[/math], [math]\displaystyle{ P O=Q O }[/math] , 正好符合三角形全等判定定理的 S A S 定理, 于是 [math]\displaystyle{ \triangle M P O }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \triangle M Q O }[/math] 全等。因此, [math]\displaystyle{ \angle M O P=\angle M O Q }[/math] 。 同时 [math]\displaystyle{ \angle M O P+\angle M O Q=180^{\circ} }[/math] 。我们得到 [math]\displaystyle{ \angle M O P=90^{\circ}=\angle M O Q }[/math] , 是直角。于是 [math]\displaystyle{ M O }[/math] 垂直于 [math]\displaystyle{ P Q }[/math] , 也就是 [math]\displaystyle{ O M \perp l }[/math] 。

过直线外一点作给定直线的垂线

解决了直线上一点的垂线的尺规作图以后，我们可以很容易地做到过直线外一点的垂线尺规作图。

例如, 从直线外的 [math]\displaystyle{ M }[/math] 点开始, 随便在直线 [math]\displaystyle{ l }[/math] 上选取一个点 [math]\displaystyle{ P }[/math] , 然后以 [math]\displaystyle{ M }[/math] 为圆心, 以 [math]\displaystyle{ M P }[/math] 为半径作圆交直线 [math]\displaystyle{ l }[/math] 于 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 。 然后, 以 [math]\displaystyle{ P, Q }[/math] 为圆心, 以 [math]\displaystyle{ P M }[/math] (同时也是 [math]\displaystyle{ Q M }[/math] 的长度) 为半径再一次作两个大圆，交于另一侧的点 [math]\displaystyle{ N }[/math] 。把 [math]\displaystyle{ M, N }[/math] 连起来就是 [math]\displaystyle{ l }[/math] 的垂线。其中垂线和 [math]\displaystyle{ l }[/math] 的交点 [math]\displaystyle{ O }[/math] 还正好就是 [math]\displaystyle{ P Q }[/math] 的中点。