定义和含义

过直线外一点的垂线的唯一性定理，指的是，给定直线 [math]\displaystyle{ l }[/math] 和直线外一点 [math]\displaystyle{ P }[/math] , 有且只有一条过 [math]\displaystyle{ P }[/math] 的直线与直线 [math]\displaystyle{ l }[/math] 垂直。

层次标注

在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

对这个定理进行数学证明

这个定理的证明是基于直线存在和唯一性定理、平行线判定定理，用反证法进行证明。

以下是摘自《小学数学这样学》的证明内容^[1]：

直线外一点的垂线

(图片来源于《小学数学这样学》^[1])

证明：我们按照过直线外一点作垂线的尺规作图的方法, 可以找到至少一条过 [math]\displaystyle{ P }[/math] 点的直线和原直线 [math]\displaystyle{ l }[/math] 垂直。现在，我们来看看是不是可以有两条或者两条以上这样的垂线。

我们先假设有两条这样的直线。既然这两条直线不同，则其在原直线 [math]\displaystyle{ l }[/math] 上的交点肯定不同。如图所示。否则, 两条直线已经都经过 [math]\displaystyle{ P }[/math] , 如果还经过同一个 [math]\displaystyle{ l }[/math] 上的点, 则两条直线就是同一条。

那么, 我们记两个交点分别为 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] 。我们看到，同位角 [math]\displaystyle{ \angle D B P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \angle D A P }[/math] 是两个直角，直角都相同， 因此, [math]\displaystyle{ P A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ P B }[/math] 应该平行，也就是没有交点，可是它们有共同点 [math]\displaystyle{ P }[/math] , 矛盾。

因此，原假设错误，过直线外一点只能有一条垂线。