定义和含义

命题，指的是，一句带有潜在的集合关系的话，这句话本身是一句陈述句，我们就称之为一个命题。最常见的就是"什么什么是什么"、"什么什么有什么"、"什么什么具有什么性质"的话^[1]。一般来说，我们都可以判断命题的真假，如果命题陈述的内容是真的，那么这个命题就为真；反之，如果命题陈述的内容是假的，那么这个命题就为假。

在演绎推理中，一般的，我们把命题看作是一个条件 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和一个结论 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的结合， 表示在这个条件 [math]\displaystyle{ A }[/math] 下 [math]\displaystyle{ B }[/math] 这个结论肯定正确，记作 [math]\displaystyle{ A \Rightarrow B }[/math]^[1] 。

对于这些命题，我们最关心的是它们背后的集合关系。

这样的命题都可以表述成如下的形式： [math]\displaystyle{ A }[/math] 具有性质 [math]\displaystyle{ B }[/math] ， 记作 [math]\displaystyle{ A \Rightarrow B }[/math] (读作 [math]\displaystyle{ A }[/math] 推出 [math]\displaystyle{ B }[/math] 、 [math]\displaystyle{ A }[/math] 导出 [math]\displaystyle{ B }[/math] 、 [math]\displaystyle{ A }[/math] 具有 [math]\displaystyle{ B }[/math] 等)，表示如果一个东西具有性质 [math]\displaystyle{ A }[/math] 则这个东西肯定具有性质 [math]\displaystyle{ B }[/math]。

有了集合的语言和集合之间的关系，我们来用集合直观地展示命题和否命题、逆命题和逆否命题的关系^[1]。这些关系是逻辑的底层关系。所以一定程度上可以说，逻辑的背后其实是集合。

层次标注

在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

辅助理解的解释

例如，"等式具有两边同时加上一个数等号不变的性质" 的 [math]\displaystyle{ A }[/math] 是 "如果一个东西是等式"， [math]\displaystyle{ B }[/math] 是 "两边同时加上一个数仍然是等式"，或者也可以看作 [math]\displaystyle{ A }[/math] 为 "如果对一个等式的两边加上同一个数"， [math]\displaystyle{ B }[/math] 就是 "等号不变"。

逻辑命题的三定律

一般来说，命题需要符合这三条定律:

同一律，指的是，一个命题不能表达着两个意思，命题中表达的意思是清清楚楚的。

无矛盾律，指的是，一个命题不能同时既为真又为假。

排中律，指的是，一个命题不是真的就是假的。

对于上面的内容，我们来稍微总结一下，一个命题必须要说的清清楚楚，而且可以判断真假。

有了这些性质，我们才能说，反证法是严格意义上的演绎推理。当然，我们后面还会看到从集合的角度来看反证法的逻辑严密性。

其实，在你有了集合的概念以后，你会发现，这些性质都是来源于集合中的元素的明确性的性质的拓展，由于集合中的元素必须是明确的，你可以清楚的知道一个元素是归属于哪个集合的，于是在命题的范畴上衍生出了了命题这三点性质。于是，当你明白了元素和集合的概念，而且有了深刻的集合的思想，命题的性质你是自然就会明白的，不用去记住。

命题和集合的联系

这部分内容摘自《小学数学这样学》^[1]：

在这里， 为了建立这个从集合到命题的联系，我们先把 [math]\displaystyle{ A \Rightarrow B }[/math] 的 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] 分别看作集合：集合 [math]\displaystyle{ A^{1} }[/math] 就是 那些具有性质 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的事物的集合。例如，在 "三角形的内角是 [math]\displaystyle{ 180^{\circ} }[/math] " 中就是 "所有的三角形"。类似地，集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 就是具有性质 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的事物的集合。例如在 "三角形的内角和是 [math]\displaystyle{ 180^{\circ} }[/math] " 中就是 "内角和是 [math]\displaystyle{ 180^{\circ} }[/math] 的封闭图形"。于是，我 们发现，如果一个命题 [math]\displaystyle{ A \Rightarrow B }[/math] 成立，用集合的语言就是集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 包含在集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 之中，如图所示。

(图片来源于《小学数学这样学》^[1])

集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 中的元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 是通过 [math]\displaystyle{ L_{A}(a)=T }[/math] 来定义的， 也就是所有具有性质 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的元素。集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 中的元素 [math]\displaystyle{ b }[/math] 是通过 [math]\displaystyle{ L_{B}(b)=T }[/math] 来定义的， 也就是所有具有性质 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的元素。(这里的T就是TRUE的缩写，意思就是命题为真；F就是FULSE的缩写，意思是命题为假)

于是， 只要 [math]\displaystyle{ A \subset B }[/math] ， 则具有性质 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的元素 [math]\displaystyle{ a\left(L_{A}(a)=T\right) }[/math] 必然具有性质 [math]\displaystyle{ B\left(L_{B}(a)=T\right) }[/math] ，也就是 [math]\displaystyle{ A \Rightarrow B }[/math] 。把命题和集合之间得关系联系起来对于数学论证是非常重要的。