定义和含义

反证法，指的是，只要我们证明了"这个命题是错误的"不成立，则就相当于证明了"这个命题是正确的"成立。或者，反过来证明了"这个命题是正确的"不成立，则相当于证明了"这个命题是错误的"成立^[1]，是一种有效的证明方法。

层次标注

在这里，它既属于第三层知识，即学科大图景，是数学学科中典型的分析方法。

辅助理解的解释

反证法成立的基础是没有一个命题可以同时是正确的又是错误的，也就是无矛盾律，这也是反证法的核心，用到的正是集合中元素的明确性。因为在使用反证法时，我们会假设， "如果 [math]\displaystyle{ A }[/math] 不成立是错的则 [math]\displaystyle{ A }[/math] 成立" ([math]\displaystyle{ \overline{\bar{A}}=A }[/math]) , 以及 " [math]\displaystyle{ A }[/math] 满足和 [math]\displaystyle{ A }[/math] 不满足不能同时成立"。

也就是说：给定一个集合 [math]\displaystyle{ \Psi }[/math] , 任意一个元素 [math]\displaystyle{ x }[/math] 是否属于这个集合是明确的，也就是 "要么这个元素 [math]\displaystyle{ x }[/math] 是这个集合 [math]\displaystyle{ \Psi }[/math] 里面的元素 [math]\displaystyle{ x \in \Psi }[/math] , 要么这个元素 [math]\displaystyle{ x }[/math] 不是这个集合 [math]\displaystyle{ \Psi }[/math] 里面的元素 [math]\displaystyle{ x \notin \Psi }[/math] ，两个情况只能有一个成立，并且必须有一个成立"。于是，这就是反证法的逻辑所在。

有的时候，为了细分，把前者称为反证法——也就是证明"这个命题是错误的"不成立；而把后者称为归谬法——也就是证明"这个命题是正确的"不成立^[1]。

有时候，如果当我们直接来进行证明时会比较复杂时，我们可以考虑先来证明这个命题的逆否命题，利用了原命题和逆否命题的等价性，其背后的本质上依靠的逻辑是集合的思想，就是原集合和它的补集的关系。

在证明 " [math]\displaystyle{ \sqrt{2} 是无理数 (B) }[/math] " 的过程中, 我们就用了反证法先来证明 "[math]\displaystyle{ 如果 \sqrt{2} 是有理数 (\bar{B}) }[/math] 则会出现和已经学习过的知识矛盾的情况 [math]\displaystyle{ (\bar{A}) }[/math] "。这个就是用了逆否命题来证明原命题。或者说, 其实 " [math]\displaystyle{ \sqrt{2} 是无理数 (B) }[/math] " 实际上意味着 "如果要做到已经学习过的知识没有矛盾 [math]\displaystyle{ (A) }[/math] , 则 [math]\displaystyle{ \sqrt{2} 是无理数 (B) }[/math] "。^[1]。

反证法背后的逆否命题和原命题等价性，也为我们日常思考的时候提供了有利的武器，有时候换一种视野来思考逆否命题可能很容易看出原命题看不出的问题和破绽，是一种值得仔细体会和培养的思维方式。