定义和含义

三角形ASA(角边角)和AAS(角角边)全等判定定理，指的是，两个三角形的两个角对应相等且一条边相等，则这两个三角形全等^[1]。

三角形ASA和AAS全等判定定理

(图片来源于《小学数学这样学》^[1])

层次标注

在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

证明过程

这个证明基于三角形内角和公理、三角形SAS(边角边)全等判定定理、三角形内角外角定理。

以下是摘自《小学数学这样学》的证明内容^[1]：

证明：首先, 按照三角形内角和公理, 当其中两个角的度数知道以后, 另一个角的度数就可以算出来。 因此, 如果我们证明了两个角夹一条边对应相等的情况(也就是ASA), 则就相当于证明了两个角和另一条边的情况(也就是AAS)。

因此，在这里我们仅仅关注两个角夹一条边都对应相等的情况。在上图中, 我们已知 [math]\displaystyle{ \angle B A C=\angle E D F }[/math], [math]\displaystyle{ A B=D E }[/math], [math]\displaystyle{ \angle A B C=\angle D E F }[/math] , 我们来证明 [math]\displaystyle{ \triangle A B C }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \triangle D E F }[/math] 全等。

假设两个三角形不全等, 也就是要么 [math]\displaystyle{ A C \neq D F }[/math] , 要么 [math]\displaystyle{ B C \neq E F }[/math] 。如果两者都对应相等, 则两个三角形的六个内部变量都对应相等了, 也就是全等了。

任意取其中一种情况, 例如 [math]\displaystyle{ A C\gt D F }[/math] 。我们用尺规作图, 在 [math]\displaystyle{ A C }[/math] 上取一个点 [math]\displaystyle{ G }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ A G=D F }[/math] 。则在 [math]\displaystyle{ \triangle A B G }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \triangle D E F }[/math] 中, [math]\displaystyle{ A G=D F }[/math], [math]\displaystyle{ \angle B A G=\angle E D F }[/math], [math]\displaystyle{ A B=D E }[/math] , 根据 S A S 判定规则, 两个三角形全等。

于是, [math]\displaystyle{ \angle A G B=\angle D F E }[/math], [math]\displaystyle{ \angle G B A=\angle F E D }[/math] 。

但是, 后面这两个等式不可能成立。一个是三角形的一个外角和其不相邻内角的关系，一个是角和其中一部分的关系。矛盾。于是，原假设错误， 两个三角形全等。(这里，就是利用了反证法)