分类:广义投入产出分析

在经济学Leontief投入产出分析和Google PageRank算法的基础上，我们提出来了广义投入产出分析（暂时见这个在“吴金闪的工作和思考”博客站点上的帖子）。

Leontief投入产出分析

原始的投入产出分析^[1] 是用于分析经济产品或者经济部门或者说产业——由于数据获取的限制，部门或者说产业更经常被研究的主体，尽管思想上这个方法也可以用于产品的研究——之间的相互影响的。

部门（产业）层次的投入产出表

把整个经济分成[math]\displaystyle{ N }[/math]个部门，假设每一个部门仅仅生产一种产品，每一个部门可以从任何一个部门获得生产这个产品的原材料和劳动力。进出口实际上也可以看做是一个单独的部门。在这里，我们暂时忽略进出口。这样整个经济在一段时期内的经济生产关系就可以用以下的矩阵来代表， [math]\displaystyle{ x=\left(x^{i}_{j}\right)_{N\times N}. }[/math] 其中[math]\displaystyle{ x^{i}_{j} }[/math]代表[math]\displaystyle{ i }[/math]部门对[math]\displaystyle{ j }[/math]部门的投入的产品的数量（实物投入产出表）或者价值（货币投入产出表）。

产品生产（化学反应）层次的投入产出表

假设有了产品层次的这张表，如果确实一个生产工艺仅仅产出一个产品，那么，所有的经济生产就包含在这个矩阵内了。当然，随着科学技术的进步，新的产品和新的生产工艺还会出现，因此，这张表仅仅是某个比较短的时期内的一张表，甚至原则上是某个时间点的一张表。当然，实际上，每一个生产工艺有可能有多个产出，因此，整体来说，产品生产就像化学反应，只不过可能场地、劳动力、生产设备、能源等等需要和原材料以及产出物一起放到这个投入产出表里面。对于这样的整个经济的生产工艺，实际上，需要另两个张量来描述，例如[math]\displaystyle{ L_{\alpha}^{j} }[/math]表示工艺[math]\displaystyle{ \alpha }[/math]需要产品[math]\displaystyle{ j }[/math]的数量或者价值，[math]\displaystyle{ R_{\alpha,j} }[/math]表示工艺[math]\displaystyle{ \alpha }[/math]产出的产品[math]\displaystyle{ j }[/math]的数量或者价值。也可以把两个张量合起来，用[math]\displaystyle{ S_{\alpha}^{j} }[/math]表示，用在数字前面增加一个“[math]\displaystyle{ + }[/math]”（正号）或者“[math]\displaystyle{ - }[/math]”（负号）来标记生产和需求。

这三个矩阵也可以看作是产品－工艺（或者反应物－反应方程）二分网的加权邻接矩阵。

典型研究问题

那么，有了这个完整的生产关系的描述之后，投入产出分析主要解决什么样的问题呢？第一个，当工艺水平不变的时候，如果人们对于某个产品的需求增加了，则，经济生产系统讲产生怎样的响应？

把第[math]\displaystyle{ N }[/math]个部门看作是最终消费者部门，把这个问题用数学的语言来说，就是，[math]\displaystyle{ y^{i}=x^{i}_{N} }[/math]有可能有一个可以预期的变化[math]\displaystyle{ \Delta y^{i} }[/math]（或者更一般的任意一个部门的变化，记为[math]\displaystyle{ \Delta　Y }[/math]），例如下一年人们需要更多的汽车，则矩阵的其他元素[math]\displaystyle{ x^{j}_{k} }[/math]将如何变化。记这个变化为[math]\displaystyle{ \Delta X }[/math]。我们希望得到一个[math]\displaystyle{ \Delta X }[/math] 和　[math]\displaystyle{ \Delta Y }[/math]之间的关系。

先从理念上来解决这个问题，再从数学上来解决。

为了有更多的汽车来满足最终消费者需求，经济生产体系首先要满足制造出来这么多额外的汽车的要求；接着为了生产这些汽车，经济生产体系需要生产这些汽车的原材料；接着，需要生产出来原材料的原材料；等等等等。在数学上，这就是

[math]\displaystyle{ \Delta X = \Delta Y + A \Delta Y + AA \Delta Y + \cdots, }[/math] 其中[math]\displaystyle{ A }[/math]就是某个代表从产品计算出来原材料的矩阵。下面，我们来看这个[math]\displaystyle{ A }[/math]实际上可以如何定义。

定义[math]\displaystyle{ A^{i}_{j}=\frac{x^{i}_{j}}{X^{j}} }[/math]，其中[math]\displaystyle{ X^{j}=\sum_{i} x^{j}_{i} }[/math]表示部门[math]\displaystyle{ j }[/math]的总产出。因此，[math]\displaystyle{ A^{i}_{j} }[/math]表示没＝每生产一个产品[math]\displaystyle{ j }[/math]所需要的[math]\displaystyle{ i }[/math]产品的数量或者价值。于是，这个[math]\displaystyle{ A^{i}_{j} }[/math]看起来像一个生产工艺配方。这样的配方可以看做在一定时期内是不变的，或者其变化远远比产品的生产要慢。自然，这就是我们想要找到的矩阵[math]\displaystyle{ A }[/math]。

从数学上，我们也可以推导出来，[math]\displaystyle{ X^{i}=\sum_{j} x^{i}_{j}=\sum_{i}\frac{x^{i}_{j}}{X^{j}}X^{j} = \sum_{j} A^{i}_{j} X^{j} }[/math]，写成矩阵的形式也就是[math]\displaystyle{ X=AX }[/math]。现在我们把[math]\displaystyle{ X^{i} }[/math]分成[math]\displaystyle{ X^{1,2,\cdots,N-1} }[/math]和[math]\displaystyle{ X^{N} }[/math]并且扔掉后者，我们得到[math]\displaystyle{ X^{i\neq N} = \sum_{j=1}^{N=1}A^{\left(-N\right)}^{i}_{j}X^{j} + x^{i}_{N}= \sum_{j=1}^{N=1}A^{\left(-N\right)}^{i}_{j}X^{j} + Y^{i} }[/math]，写成矩阵的形式就是[math]\displaystyle{ X=A^{\left(-N\right)}X + Y }[/math]，也就是[math]\displaystyle{ X=\left(1-A^{\left(-N\right)}\right)^{-1}Y }[/math]。

定义[math]\displaystyle{ L=\left(1-A^{\left(-N\right)}\right)^{-1} }[/math]，称为Loentief矩阵，我们就得到了[math]\displaystyle{ X=LY }[/math]。由于这是一个线性关系，于是[math]\displaystyle{ \Delta X=L \Delta Y }[/math]，这就是回答了我们一开始的问题：如果有一个最终需求上的可预期的波动，那么经济生产系统将如何响应。

目标外界投入产出分析

封闭系统的投入产出分析

把PageRank算法看做广义投入产出分析

向前和向后分析

产品－技术二分网或者双层网上的投入产出分析

参考文献