分类:矩阵Loentief逆的一些数学

研究背景和问题

在广义投入产出分析中，我们经常要计算矩阵的Leontief逆，以及矩阵中去掉一行一列或者某些部分以后的Leontief逆。这里讨论一些关于Leontief逆的有意思的数学结果。

数学结果

我们发现，

1. 按照直接联系到间接联系的思路，也就是[math]\displaystyle{ L_{B}=\frac{1}{1-B} }[/math]，我们多次重复实际上只能够得到三个不同的矩阵，[math]\displaystyle{ L_{L_{B}}=\frac{1}{1-\frac{1}{1-B}} = 1-\frac{1}{B} }[/math]，[math]\displaystyle{ L_{L_{L_{B}}}=\frac{1}{1-\left(1-\frac{1}{B}\right)} = B }[/math]。也就是，间接联系的间接联系的间接联系会回到直接联系。这个结果说明，实际上，不管拿到的是之间还是间接联系的矩阵，实际上，我们都有可能可以找出来那个直接联系，只要多做几次Leontief逆就可以了。是不是还可以识别出来，哪一个是直接矩阵，哪一个是间接矩阵呢？这个数学结果如何在实际问题中发挥作用呢？
2. 如果已知[math]\displaystyle{ L_{B_{0}}=\frac{1}{1-B_{0}} }[/math]，对于[math]\displaystyle{ B=B_{0}+\Delta }[/math]，我们有Dyson方程^[1][math]\displaystyle{ L_{B}=L_{B_{0}}+L_{B_{0}}\Delta L_{B}=L_{B_{0}}+L_{B}\Delta L_{B_{0}} }[/math]，并且在某些形式的[math]\displaystyle{ \Delta }[/math]的情况下可以解析求解[math]\displaystyle{ L_{B}=\frac{1}{1-B} }[/math]。这个去掉一个部门求逆的计算在HEM中用到，在网络演化学习^[2]中用到。应该还有其他实际的例子。
3. 实际上，矩阵的本征向量，也存在着微扰论^[3]

下一步的工作

1. 完成前期论文，表明做这个计算的必要性。
2. 推出这个纯粹计算技术（Dyson方程）的文章。
3. 未知直接和间接联系的网络的直接结构的推断：按照前面的数学发现，无论多少重的间接矩阵，只能是[math]\displaystyle{ 1-\frac{1}{B}, B, \frac{1}{1-B} }[/math]中的一个（相比^[4]的定义，由于我们保留了对角项，实际上更简单了。如果将来想去掉对角项，得到间接矩阵之后再去掉就行），我们提出来，对于任意一个网络，把这三个矩阵都算出来，放在一起，通过比较这三个矩阵来确定哪一个是直接联系矩阵。这个需要在具体例子上试试，看看效果。具体比较来说，可以通过简单对比边的数量，或者用聚类模块化指数，或者其他方式。^[4]有一些例子，例如基因网络、合作者网络，可以参考。如果能够把直接的网络找出来，不管实际上拿到的网络是哪一个(那三个之一，可以用一些典型的有聚类结果的实际或者理论网络，然后，变成直接或者间接矩阵，用来做分析)，那么，首先我们有了获得直接联系的方法。其次，结合分类:邻接矩阵的Leontief逆用于聚类我们还能够在这个直接矩阵的基础上，通过把间接联系算出来，来做聚类。这样Loentief逆既可以用来找直接联系，也可以用来当做聚类算法。

参考文献