定义和含义

等腰三角形底角相等定理，指的是，在等腰三角形[math]\displaystyle{ \triangle A B C }[/math] 中，如果两条边的长度相等，也就是 [math]\displaystyle{ A B=A C }[/math], 则两条边分别对应的底角相等，也就是 [math]\displaystyle{ \angle A B C=\angle A C B }[/math] 。

等腰三角形底角相等定理

(图片来源于《小学数学这样学》^[1])

层次标注

在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

对这个定理进行数学证明

这部分内容摘自《小学数学这样学》^[1]。

证明： 如图所示, [math]\displaystyle{ \triangle A B C }[/math] 中 [math]\displaystyle{ A B=A C }[/math] , 我们来证明 [math]\displaystyle{ \angle A B C=\angle A C B }[/math] 。把 [math]\displaystyle{ \triangle A B C }[/math] 的 [math]\displaystyle{ A B }[/math] 延长到任意的一点 [math]\displaystyle{ D }[/math] , 在射线 [math]\displaystyle{ A C }[/math] 的延长线上取一个点 [math]\displaystyle{ E }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ A E=A D }[/math] 。这个通过尺规作图就能够实现。

然后把 [math]\displaystyle{ D, C }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B, E }[/math] 分别连起来。考察 [math]\displaystyle{ \triangle A D C }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \triangle A E B }[/math] , 我们有 [math]\displaystyle{ A D=A E }[/math],[math]\displaystyle{ A C=A B }[/math], [math]\displaystyle{ \angle D A C=\angle E A B }[/math] , 正好符合三角形SAS(边角边)全等判定定理。 于是, [math]\displaystyle{ \triangle A D C }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \triangle A E B }[/math] 全等。

因此, [math]\displaystyle{ A D=A E }[/math] , [math]\displaystyle{ B E=C D }[/math], [math]\displaystyle{ \angle A B E=\angle A C D }[/math], [math]\displaystyle{ \angle A D C=\angle A E B }[/math] 。根据 [math]\displaystyle{ A D=A E }[/math] , [math]\displaystyle{ A B=A C }[/math] , 我们得到 [math]\displaystyle{ A D-A B=A E-A C }[/math] , 也就是 [math]\displaystyle{ B D=C E }[/math] 。在 [math]\displaystyle{ \triangle B D C }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \triangle C E B }[/math] 中, [math]\displaystyle{ B D=C E }[/math], [math]\displaystyle{ \angle B D C=\angle C E B }[/math],[math]\displaystyle{ B E=C D }[/math] , 因此, [math]\displaystyle{ \triangle B D C }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \triangle C E B }[/math] 全等。于是, [math]\displaystyle{ \angle D B C=\angle E C B }[/math] 。这两个相等的角刚好分别就是底角 [math]\displaystyle{ \angle A B C }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \angle A C B }[/math] 的补角。既然补角相等, 则原角也相等。