定义和含义

直角三角形锐角可以取任意小定理，指的是，对于任意一个直角三角形来说，其中的一个锐角可以任意小，也就是小于任意的给定的角 (记作 [math]\displaystyle{ \angle \theta }[/math]) ，同时也意味着，另一个锐角可以无限接近[math]\displaystyle{ 90^{\circ} }[/math]。

层次标注

在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

辅助理解的解释

(图片来源于《小学数学这样学》^[1])

我们用图中的例子来具体说明，就是在直角三角形 [math]\displaystyle{ \triangle P Q C }[/math] 中, 其中的一个锐角(例如[math]\displaystyle{ \angle C Q P }[/math]) 可以任意小, 也就是小于任意的给定的角 (记作 [math]\displaystyle{ \angle \theta }[/math]) 。 这也意味着另一个锐角 ([math]\displaystyle{ \angle C P Q }[/math]) 可以无限接近 [math]\displaystyle{ 90^{\circ} }[/math] ^[1]。

对这个定理进行数学证明

这个定理的证明基于三角形内角外角定理，等腰三角形底角相等定理，三角形内角和公理。 以下是摘自《小学数学这样学》的证明内容^[1]：

证明：对于图中所示的情况，给定顶点 [math]\displaystyle{ C }[/math] 和直角边射线 [math]\displaystyle{ C P }[/math], [math]\displaystyle{ C Q }[/math] , 我们取 [math]\displaystyle{ C P=C Q }[/math] 。 可以证明这个时候直角三角形 [math]\displaystyle{ \triangle P Q C }[/math] 为直角等腰三角形, 其两个锐角为 [math]\displaystyle{ 45^{\circ} }[/math] 。如果这个 [math]\displaystyle{ 45^{\circ} }[/math] 已经满足要求, 也就是小于给定的 [math]\displaystyle{ \angle \theta }[/math] , 则 [math]\displaystyle{ \triangle P Q C }[/math] 中的 [math]\displaystyle{ \angle C Q P }[/math] 就是满足要求的锐角。

如果这个 [math]\displaystyle{ 45^{\circ} }[/math]不满足要求, 我们来作下面的尺规作图来把 [math]\displaystyle{ \angle C Q P }[/math] 得到直角三角形 [math]\displaystyle{ \triangle P Q_{1} C }[/math] 。我们有 [math]\displaystyle{ \angle C Q_{1} P=\frac{1}{2} \angle C Q P }[/math] 。其原因是 [math]\displaystyle{ \triangle P Q Q_{1} }[/math] 是一个等腰三角形, 两个底角相等。同时, 利用三角形外角等于两个不相邻的内角之和, 我们得到, 外角等于两倍的内角, 也就 是 [math]\displaystyle{ 2 \angle C Q_{1} P=\angle C Q P }[/math] 。

如果这个缩小了一半的锐角已经小于 [math]\displaystyle{ \angle \theta }[/math] , 则 [math]\displaystyle{ \angle C Q_{1} P }[/math] 就是满足条件的锐角。

如果不满足, 我们重复上面的尺规作图, 再一次把这个锐角缩小一半。不断地缩小一半, 我们总是能够找到满足条件的锐角。