定义和含义

抽象，指的是，把具体的东西作总结和提炼(提炼的是具体的东西在当前问题中最关注的特征)，忽略暂时不关心的细节，把具体的东西变成更一般的事物的过程。忽略细节，走向一般，就是抽象^[1]。

抽象是数学家最最重要的思维方式，依靠着抽象，数学得以发展和应用。

层次标注

在这里，它属于第四层知识，即一般性人类思维。

当然了，它本身也是数学学科中的典型的思维方式，所以在数学中，它也属于第三层知识，即学科大图景。

抽象是数学思维的核心

以下内容摘自《小学数学这样》^[1]：

抽象就是找到和保留不同对象之间的具有共性的模式，忽略那些不同对象之间有差异的细节的过程。抽象的结果，也就是被保留下来的模式，就是数学结构。抽象可以反复嵌套地使用，从而可以从最具体的数学对象，或者说这个世界的具体事物或者人脑中的这个具体事物的接近实际的表示，走到最抽象的数学结构。

例如，我们从"数+量(单位)+物"的模式中忽略掉"物"而保留"数+量"，并且在它的后面允许加上任何和这个"量"相配的"物"，就可以用来描述所有这样的"物"。进一步，我们忽略掉"量+物"而保留"数"，并且在它的后面允许加上任何和这个"数"相配的"量+物"，就可以用来描述所有这样的"量+物"。于是，我们从"数+量(单位)+物"的模式中得到了"数"的概念。

更进一步，我们对"合起来数一数"、"整体里面去掉一部分"做抽象，而不管到底整体是多少，被操作的对象是什么，得到了加法和减法。乘除法也类似:重复的加法成了乘法，重复的减法成了除法。甚至，更进一步，由于我们看到减法是加法的逆运算，而乘法和除法分别是加法和减法的同样逻辑的拓展("重复")，我们甚至进一步猜测，是不是乘除法也互为逆运算。接着，这个猜想被证实以后，我们甚至可以进一步猜想:是否两个具有某个关系的数学结构，经过同样的操作得到的两个相应的新的数学结构之间，也具有这个关系。这个猜想经过发展在数学中成了同构或者同态的概念。我们甚至可以更加进一步，问是不是其实看起来没有联系的两个概念体系，可以通过这样的结构上的相似性发现其相互连通的地方从而在理解和研究上做到这两个概念体系的相互启发。实际上，这个就是范畴论——这个目前为止最一般的数学结构——的威力。数学和物理之间的分分合合，相互启发的关系也具有这个特点:大量的数学结构来自人们对现实对象的研究，有一些数学结构看起来完全来自好奇心和对数学知识体系上纯逻辑的要求，但是无论前者还是后者，都经常被发现具有描述现实的能力，以及反过来，对现实的研究往往会启发到数学结构的提出和发展。例如，微积分和运动学，纤维丛和规范场论。其背后，都是因为发现了某些相通的结构，进而形成了更加全面的相互联系相互贯通。

再例如，我们从加减乘除的意义得到了运算律，一个适用于任何数之间的加减乘除运算的规律。在这里，我们忽略了具体的数，而将其转换成了可以用于任何一个数的"代替数的字母"。甚至，更进一步，由于算式还可以看作最终所计算出来的数，因此，还可以用一个字母来代表算式。于是，我们从对数的操作，过渡到了对字母的操作，以及对算式的操作。由于数也被我们抽象掉了，实际上，我们在讨论运算律的时候，仅仅关注运算，也就是关系。因此，我们所得到的运算律，是适用于任何数的关于"运算"或者说"关系"的规律。这也是抽象。

甚至，我们一旦总结出来运算律之后，还可以更进一步，忘掉加减乘除运算的具体含义，说:满足这些运算律的运算就是加减乘除(其实只有加和乘，减和除当作加和乘的逆运算)。我们这样做的目的是，将来有一些操作可能含义看起来一点也不像加法或乘法，但是其满足这些运算律，那么，这个时候，我们完全可以用加法和乘法来理解和表示这些操作。这就是抽象的威力。

抽象，在数学中，就是从一个模式中忽略掉一些细节，保留共同的部分，成为一个数学结构的过程。

同时，抽象往往是建立在研究者的关于实际对象的经验和直觉的基础之上的。例如，如何才能知道哪些是这个对象的可以扔掉的不重要的细节，往往基于经验和直觉，基于我们关注这个对象的什么问题。但是，直觉和经验却往往又包含了一些可能具有误导作用的关于这些对象的认知。因此，在数学中如何培养和运用好经验和直觉，对现实对象乃至对数学对象本身的经验和直觉，是一个非常重要的问题。

抽象很重要不表示经验和直觉不重要，而是反过来，由于抽象很重要，则作为抽象的基础和方向感的经验和直觉，也很重要。

抽象，抽象，再抽象

以下内容摘自《小学数学这样》^[1]：

在所有的数学学科的典型思维方式中，有一种思维方式，无论多么地强调，都不为过。它就是"抽象"，或者说"抽象-具体化"这一对关系。为什么抽象在数学中，甚至在所有人类的思维活动中，如此地重要?因为我们想偷懒，又想把问题解决好。因此，我们只能希望用最少量的工具，不管这个工具是概念、方法、模型，还是什么别的，解决尽可能大量的问题。怎么才能实现这个目标呢?发掘和利用所要解决的问题之间的关系，基于有这些问题的对象之间的关系，来找到这些对象和这些对象的问题内部的相似性，进而给这些相似性相应的(最好是可以望文生义的，自然的)名称。甚至，更进一步，再去考察这些相似性之间的相似性，找到了再给个名称。更甚至，进一步考察相似性的相似性的相似性，乃至我们开始考察发掘和表达这样的相似性的语言和思维的体系，再给这个语言和思维一个名称，而不仅仅关注具体的相似性。这就是抽象，一个数学，也是科学，背后的典型思维方式。而其结果，也就是得到的相似性，或者发掘和表达相似性的语言和思维的体系，就成了数学结构。当然，反过来，把这样的数学结构用到满足它的要求的具体对象上的过程，就叫作具体化。因此，抽象-具体化是一对天生耦合在一起的思维方式。前者是从具体对象中抽象出数学结构，后者是把数学结构用于当时抽象出来的时候的对象上，或者背景来源上不完全相同但是数学结构上完全相同的对象上。随着抽象层次的提高，我们会发现，得到的数学结构往往可以描述更多的具体对象。这样，我们就实现了既偷懒又把问题解决好的目标。

更一般地来说，人类的数学和科学，没准还包含其他学科，都是人类用来认识世界(有的时候也用于改造干预世界)的工具。而我们学习数学和科学，就是为了具有使用、完善和制造工具的能力。为了具有这些能力，我们自然需要掌握一些工具，以及从这些工具自身被使用、制造和完善出来的过程中学来会使用、制造和完善这些工具。而过去这些工具，也就是数学结构和科学概念的被使用、创造和完善的过程给我们的一个非常重要——如果不算最重要的话——的启发就是抽象思维，或者说，抽象-具体化这一对思维。

我们来回顾我们学习数学的线路。一开始，我们从对具体的对象的数量的描述，比如说，三(数)个(量)苹果(物)，两(数)双(量)袜子(物)，一(数)个(量)人(物)，一(数)斤(量)鸡蛋(物)等等，过渡到"数+量+物"的模式，甚至进一步提炼出来说，物之间具有某种替代性，所以可以试试先忽略"物"只关注"数+量"。比如说，原始人就发现，可以用数石头的方法来记录出去打仗或者狩猎的人数以及返回的人数。例如，你正式学数学之前，可能就会用手指头去数桌子上的糖果的数量。这里就用了石头和人之间、手指头和糖果之间的这种去掉"物"保留"数+量"的关系。其实，你甚至进一步发现，"量"也可以暂时忽略。也就是你的一个手指头其实用来指代任意一个"单位"的任意东西也可以。比如说，一个手指头代表一双袜子、一打笔、一斤鸡蛋、一担稻谷等等。也就是说，"数"可以成为一个超越量、物，适用于任何量、物的一种结构，一种相似性——也就是在给定单位(量)和物的情况下，又忽略了量、物之后，你的手指头所展示的数和那个所指代的物的数之间的相似性。于是，你发现了数(其实是自然数，而且可能仅仅是很小的自然数)这样的数学结构。

接着你发现，对这些很小的自然数，可能还可以通过每次增加1，对应着给定的那个单位的一个，来得到越来越大的数。更进一步，你还发现了，其实增加一个任意数量，都可以看作是增加同样次数的一个单位。你看，你就从数数——也就是每次增加1，推广到了每次增加任意一个数，也就是加法。沿着之前得到数的抽象过程，你就发现，这个抽象出来的新的共性，或者说相似性，很自然地可以用于关于任何给定的"量、物"的对象的数量的累加。所以，加法就成了"数"之上的结构，也摆脱了对"量、物"的依赖。

再接着，我们发现，可能很多时候，我们会对数做多次重复的加法，不管这个每次加的数是多少和加了多少次。于是，这个重复的加法就成了乘法。同样，我们建立乘法的过程可能受具体的"量、物"的重复加法的启发，但是由于这里的乘法可以看作是直接在"数"这个结构上做的，于是也就自然超越了"量、物"。这就是抽象的力量，进一步的抽象至少具有之前的抽象相同的适用范围，抓住了至少之前的抽象的相似性。

我们再往前稍微走了一小步:我们发现，由于我们更加关心加法和乘法等这样的操作是什么，而不是具体的数，我们实际上不妨用字母来代替具体的数写在算式之中。我们甚至给了这样的算式一个名字——"代数表达式"，或者"代数式"。我们把加法、乘法等当成运算，其实也是一个抽象——忽略具体再做什么运算，但是把这样的需要两个数当输入，输出一个数的操作都当作运算。

有了表达式和运算的概念，我们甚至进一步通过对表达式做变形来考察运算的性质。例如，我们发现，加法具有结合律、交换律，乘法具有结合律、交换律。乘法和加法之间具有乘法对加法的分配律。我们还用代数式对这些运算律做了最一般化的表达，例如[math]\displaystyle{ a+b=b+a }[/math], [math]\displaystyle{ a \times(b+c)=a \times b+a \times c }[/math]。

甚至，没准，你已经注意到，其实加法和乘法还挺像。将来你学会一个叫作对数([math]\displaystyle{ ln(a) }[/math])的运算之后，会发现，加法和乘法之间"几乎"可以相互转化。

将来，一旦加法和乘法统一了，也就是抓住了它们之间的相似性，我们甚至开始思考，是不是可以把具有加法(已经统一了乘法)的自然数，当作某个数学结构的模板，使得这个结构可以自然地超越自然数。例如，我们会发现，对一个正方形的保持形状的旋转，尽管只有有限几个元素，但是看起来也很像加法。这就成了我们将来会学到的半群、群的核心结构。

将来，我们甚至会进一步问这样的问题:我们是不是可以把具有这样的加法和乘法的自然数，当作某个更加一般的结构的模板。也就是说，如果有另一组对象，它们之间同时定义了一种加法和一种乘法，两种运算之间也具有这样的关系——加法和乘法自身的交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律，没准，我们可以把这样的数学结构基本上等同于自然数。这就是将来我们需要学会的半环、环的核心结构。

更多的关于域、矢量空间是如何抽象出来的内容就不再进一步展开了。

甚至，更进一步，数学家开始注意到，是不是我们需要把集合、群、环、域、空间等各种数学结构也统一起来，甚至形成一个可以用于描述更加一般性的数学结构的语言。于是，数学家提出了范畴论。

再次强调，我们没有希望我们的小读者看懂这一章的任何细节，我们只希望通过这个数学结构不断地从多个层次抽象出来的过程，来给我们的小读者一个感受:抽象，不断地抽象，是数学思维的神，它使得我们能够有语言来表述越来越广泛的对象，使得我们可以对这些越来越广泛的对象开展越来越深刻和高效率的思考，达到既偷懒又解决问题的目的。