定义和含义

分解，指的是，将一个问题或者是研究对象拆分为更小、更容易理解的部分。

综合，指的是，将这些分散的部分重新组合，还原到原有的整体的问题或者研究对象中，来回答和解决最初的问题。

于是，这两个互相依赖的思维方式被统称为分解和综合的思想。

层次标注

在这里，它属于第三层知识，即数学学科大图景，是数学的典型思维方式。

辅助理解的解释

通俗来说，分解和综合就像是拆解一个大玩具车，我们先来看看这个大玩具车的各个部件是如何工作的，然后再将各个部件重新组装起来，就可以清楚的知道为什么大玩具车可以有复杂的功能。也就是，是把复杂的问题或系统拆分为更小、更易于理解的部分(分解)，然后再将这些部分组合起来以获得更全面的理解或解决整体问题(综合)。

在数学中，质因分解就是很典型的用到了分解和综合的思想的概念。想要了解一个很大的数的性质，我们可以使用质因分解把这个很大的数拆解为它的质因数的乘积，然后通过深入研究这些质因数的性质，从而综合起来可以得到大数的性质。

另外，在几何部分中，很多图形的面积的计算也可以用到分解和综合的思想。想要知道一个复杂图形的面积，先将这个复杂图形分解为多个简单图形，然后通过计算得到各个简单图形的面积，最后综合起来把所有的简单图形的面积加和起来，就得到了复杂图形的面积，这样的分解和综合，我们也可以给它一个名字，叫作割补。

还有，在复杂应用题中，现将复杂问题分解为更小、更容易处理的部分，因为复杂的应用问题通常包含大量信息和多个变量，分解将问题分成较小的子问题，每个子问题都更简单，更容易看到其中的数学关系；解决了所有子问题，我们就可以将它们的解决方案综合起来得出最终的总问题的答案。

但是，其实这个思想更重要的是指导了数学建模的过程，再问题的拆解和模型的数学化中，帮助我们把一个复杂的问题建立为一个我们能够充分了解的数学模型然后用于问题的求解。更重要的是，这个思维方式是跨越多个学科的思维方式，其实我们在学习、生活和生产中经常会用到。

分解和综合是数学结构研究的典型方式

以下内容摘自《小学数学这样》^[1]：

一方面，分解以及反过来的综合成为数学甚至科学的一种重要思维方式的原因，来自人类认识世界的需求。这个世界的事物足够多种多样，丰富多彩，只有不断地分解之后，才能找到更基本的单元，然后通过这些基本单元的组合，可以反过来得到丰富多彩的世界的事物。例如，我们把物体分解为物质，把物质分解为元素，把元素分解为中子、质子和电子等。这样，更底层的结构种类更少，然后通过反过来把这些单元一层层组合起来，也就是子结构的综合，可以得到更上层的更加复杂数量更多的结构^[1]。

另一方面，分解和综合成为数学和科学的普遍思维方式，也可能是受人类大脑的影响。人类功能有限的大脑，尤其是记忆成本高容量小(对于没有联系的相互独立的信息单元，人类工作记忆的容量是[math]\displaystyle{ 7 \pm 2 }[/math])和不愿意过多地依赖记忆，使得我们必须建立起来一个通过用很少的概念组合起来就能得到更加复杂的概念的体系，从而使得我们可以用这套语言来描述世界^[1]。

不过，不管出于什么原因，结果就是:复杂的数学结构往往通过简单的数学结构来构成。例如，集合上面加上满足某些条件的映射可以构成群。如果一个集合上面有两种构成群的映射，并且这两种运算还具有某些相容的性质，合起来可以构成域。增加更多的基本结构，可以构成线性空间等等。甚至，就在群的范围内，我们也希望所有的群都可以还原成数量有限(或者类型有限)的简单群。一旦我们可以搞清楚这些简单群，把它们在某种意义上嵌套融合起来，就可以构成其他更复杂的群。这样的寻找一个数学结构的简单的情形，然后希望通过这些简单情形的组合来构成复杂的情形的追求，是数学研究中特别普遍的需求^[1]。

甚至，结合前面的数学结构的表示，如果我们找到了简单结构的表示，复杂结构也确实可以通过简单结构的组合而得到，则我们实际上就解决了所有结构的表示^[1]。

例如，通过因式分解来求解方程，实际上就是分解和综合的体现:本来我们有一个多种因素导致的等于零的表达式，我们希望找到这样的因素;现在，我们希望通过把这样的因素一个个分离开来(依靠的逻辑是，如果一群因式相乘等于零，则至少其中一个因式等于零)的方式来找到每一个这样的因素^[1]。

甚至，在整个数学概念体系的形成过程中，我们用的主要方式就是分解和综合。例如，我们把直角的概念和三角形的概念合起来，称作直角三角形。进而，我们发现，演绎推理的基本结构也是组合，大前提和小前提组合，得到新的数学结构^[1]。

甚至，在应用题中，我们也把一个事物以及相应的一个事物的量看作是更加基本的事物以及相应的由这些更加基本的事物的量按照相应的关系导致的计算构成的前面那个事物的量，然后，甚至在更复杂的问题中，这些事物还可以通过相应的关系来构成更加复杂的事物。因此，求解这样的问题的时候，我们实际上就是在用分解和综合。于是，我们关注关系，以及关系的嵌套。在数学研究中，人们往往把一个数学问题拆分成多个子问题，然后逐个攻克每个问题，最后再整合起来回答大问题。这也是分解和综合^[1]。

计算机编程思想中的分治，把一个任务分解成多个更加容易完成的子任务，甚至进一步再次分解成更更加容易完成的子子任务，然后完成这些更加容易完成的任务，再合起来解决整个任务，也可以看作是这个思想的应用，或者说因式分解求方程这个分析方法的拓展^[1]。