定义和含义

演绎推理，指的是，从一群定义和假设已经成立的命题(可以是公理，可以是已经证明的命题，也就是定理。或者原则上，假设成立的任何命题)出发，将其相互组合，必要的时候补充定义，得到新的定理的过程或者说思维方式^[1]。

当指的是思维方式的时候，也被称为演绎法、演绎方法^[1]。

层次标注

在这里，它既属于第三层知识，即学科大图景，是数学中的重要的证明和推理的方法工具和思维方式，比如用于从已知的公理和定理推导出新的定理。

辅助理解的解释

演绎的基础是一般到具体的关系，也就是一个集合整体具有什么性质则其元素也具有相应的性质^[1]。

在演绎推理中，一旦你承认了公理和公设，那么只要推理过程正确，得到的结论就是无懈可击的，这便是演绎推理的精髓^[2]。

有的时候还表现为直接看起来不是一般到具体关系的数学归纳法和反证法的形式^[1]。

但是，注意到数学归纳法的基础是整数，反证法的基础就是集合元素的确定性，因此两者实际上都是一般到具体的关系，也就是三段论的论证方式：从大前提某集合具有某性质出发，结合小前提某物属于某集合，得到结论某物也具有某性质。三段论的基础也是集合论，也就是集合的包含关系^[1]。

演绎证明

演绎证明，指的是，把一般的已经知道是正确的命题用到合适的具体问题具体定义，以及把几个已经知道是正确的命题组合起来，来得到新的命题^[1]。它是直接证明的一种，其依靠的是逻辑推理，本质上依靠的是集合、集合的思想。

演绎证明经常通过组合这些已有论断以及和新的定义结合，采用从一般到特殊的方式，也就是把面对的问题转化成已经接受或者证明的论断的情形，来证明新的论断^[1]。换句话说，也就是"从大的集合到小的集合"的过程，其中"小的集合"是包含于"大的集合"中的。

演绎证明使用的语言是："因为"，记作 [math]\displaystyle{ \because }[/math] ；"所以"，记作 [math]\displaystyle{ \therefore }[/math] 。

注意，演绎证明不关心本身的逻辑起点，"A具有某性质"是否真的成立，其关注点在于，如果"A具有某性质"，且"a是A之中的一个"，则"a具有某性质"这个逻辑过程^[1]。

例如，三段论，举个很有名的例子：

你会发现，直接通过逻辑的判断，似乎是可以想的明白的。

这里，如果借助集合的思想来看待逻辑推理，就会简单很多。所有人是一个大集合A，而苏格拉底a是这个大集合中的一个元素，所以a属于A。所以，A集合具备的性质，a也具备。因为A集合(所有人)的性质是都会死，所以a元素(苏格拉底)也具有，也就是苏格拉底也会死。论证完毕。

我们可以画个图来辅助你思考：

(图片来源于《小学数学这样学》^[1])

这里面，如果你把a那个点看作是一个A集合中的一个元素，也就是"元素a"属于"集合A"，记作"[math]\displaystyle{ a(a \in A) }[/math]"。

我们用把A染成蓝色来表示A具有某种性质。于是，我们很自然的有，A的一个元素[math]\displaystyle{ a(a \in A) }[/math]也是蓝色的，也就是也具有这个性质^[1]。

总的来说，演绎推理就是从一般到特殊的一个过程，从一个大的集合的范畴，到一个小的集合或者是元素的推理过程，一旦保证了大的集合下的命题或者假设是正确的，那么只要再保证这个推论表示的小的集合或者是元素包含于或者是属于这个大的集合中，那么这个推论就是正确的。

在这里，你又一次可以看到集合的思想的威力，通过这样的演绎推理，我们构建起了整个数学大厦，前人已经正确证明好的内容，自己就可以直接在此基础上进行更进一步的研究，保证了数学在历史长河中的发展。

当然了，我们鼓励你，在学到任何一个定理时都自己去进行完整的推理，只有经过自己理性思考的内容才能当做你更进一步思考的基础，这也是批判性思维的核心内容，帮助你学的更少，掌握的更多，更牢靠。