定义和含义

数学归纳法是一种非常严密的推理，它不是归纳法，而是严格的演绎推理，其一般结构如下^[1]:

1、如果有一个结论 [math]\displaystyle{ A }[/math] 当某个整数 [math]\displaystyle{ n=N_{0} }[/math] , 例如 [math]\displaystyle{ N_{0}=1 }[/math] 或者 [math]\displaystyle{ N_{0}=0 }[/math] , 的时候成立;

2、如果下面的命题也成立: 结论 [math]\displaystyle{ A }[/math] 对于 [math]\displaystyle{ n }[/math] 成立就能够推导出来结论 [math]\displaystyle{ A }[/math] 对于 [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] 也成立;

3、则结论 [math]\displaystyle{ A }[/math] 对于所有的 [math]\displaystyle{ n \geqslant N_{0} }[/math] 都成立。

层次标注

在这里，它属于第三层知识，即学科大图景，是数学学科中典型的分析方法。

辅助理解的解释

数学归纳法，是稍微特别一点的数学证明方法，它对于涉及到自然数的递增数列的数学证明时特别有用。

数学归纳法的严格证明

这部分内容摘自《小学数学这样学》^[1]。

数学归纳法看起来挺好理解的: 第一条保证在 [math]\displaystyle{ n=N_{0} }[/math] 的时候结论成立, 然后, 我们用上第二条就得到了 [math]\displaystyle{ N_{0}+1 }[/math] 也成立, 接着再用一次, 就得到了 [math]\displaystyle{ N_{0}+2 }[/math] 也成立。不断地用下去, 我们就得到了对于所有的 [math]\displaystyle{ n \geqslant N_{0} }[/math] 结论 [math]\displaystyle{ A }[/math] 都成立^[1]。

但是, 我们仍然希望对数学归纳法的成立有一个严格的证明。例如, 真的这样做下去就能够把每一个 [math]\displaystyle{ n \geqslant N_{0} }[/math] 的整数都覆盖上吗? 这就需要把所有的整数先定义出来了。这比较麻烦, 因为这样的整数可能有无限个, 而从有限到无限往往不是想想就能走通的。不过我们有反证法, 来把本来需要无限的问题, 转化成一个有限的问题。转化了以后, 那就容易多了^[1]。

我们假设, 在至少某一个 [math]\displaystyle{ N\gt N_{0} }[/math] 上, 结论 [math]\displaystyle{ A }[/math] 不成立。注意, [math]\displaystyle{ n=N_{0} }[/math] 的时候 [math]\displaystyle{ A }[/math] 就不成立是不可能发生的, 因为这是前提条件。注意, 原则上, 最终结论不成立可以意味着有多个这样的 [math]\displaystyle{ N }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ A }[/math] 不成立。这个时候, 我们只需要选择其中的一个来讨论就可以。这就是这里的 "至少" 的含义。再注意, 这里选出来的 [math]\displaystyle{ N }[/math] 无论多大, 都是一个给定的数, 有限的数^[1]。

好, 现在, 我们来继续我们的证明。我们说从 [math]\displaystyle{ n=N }[/math] 的时候, [math]\displaystyle{ A }[/math] 不成立, 我们可以得到 [math]\displaystyle{ n=N-1 }[/math] 的时候, [math]\displaystyle{ A }[/math] 也不成立。为什么? 我们用反证法：假设 " [math]\displaystyle{ n=N }[/math] 的时候, [math]\displaystyle{ A }[/math] 不成立, 但是 [math]\displaystyle{ n=N-1 }[/math] 的时候, [math]\displaystyle{ A }[/math] 成立", 根据第二条 "如果结论 [math]\displaystyle{ A }[/math] 对于 [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] 成立, 就能够推导出来结论 [math]\displaystyle{ A }[/math] 对于 [math]\displaystyle{ n }[/math] 也成立"，就得到了 " [math]\displaystyle{ n=N }[/math] 的时候， [math]\displaystyle{ A }[/math] 成立"，和假设的 " [math]\displaystyle{ n=N }[/math] 的时候， [math]\displaystyle{ A }[/math] 不成立" 矛盾^[1]。

因此, 这个假设不成立。于是我们得到了: 从 [math]\displaystyle{ n=N }[/math] 的时候, [math]\displaystyle{ A }[/math] 不成立, 我们可以得到 [math]\displaystyle{ n=N-1 }[/math] 的时候, [math]\displaystyle{ A }[/math] 也不成立。由于前提已经满足一一我们一开始就假设了 [math]\displaystyle{ n=N }[/math] 的时候 [math]\displaystyle{ A }[/math] 不成立, 于是得到结论 [math]\displaystyle{ n=N-1 }[/math] 的时候, [math]\displaystyle{ A }[/math] 也不成立^[1]。

所以，到现在为止，我们知道了数学归纳法其实是严谨的演绎推理，所以以后可以放心使用了^[1]。

除非遇到将来反证法不成立的时候，也就是集合元素的确定性不成立的时候。那，有那个时候吗?感兴趣的读者，可以去看看一个叫作"理发师悖论"的神奇的东西。在那里，我们会遇到真的不好判断一个元素是否属于某个集合的情况^[1]。数学发展史上就曾经因为这个悖论而引发了数学界的"强烈大地震"，后来被人们通过重新构建了集合的公理化定义而得到解决，使得数学的基石更加稳固。