定义和含义

理发师悖论，指的是，数学家、哲学家罗素提出来下面这样一个问题。在这个小镇中只有一个理发师。这位理发师说:“我只给，且一定要给这个镇子里不给自己理发的人理发。”^[1] 这个问题本身的描述就到此，但是背后隐藏了一个逻辑悖论。如下:

那这位理发师应该给自己理发吗?如果他给自己理发，则他就是“给自己理发的人”，于是就不是“不给自己理发的人”，因此，按照他的规则，他就不应该给这样的人理发，也就是不给他自己理发^[1]。

如果他不给自己理发，则，他就是“不给自己理发的人”，因此，按照他的规则，他就应该给这样的人理发，也就是给他自己理发。于是，我们得到了矛盾，按照他的规则，他要是给自己理发则得到不给自己理发，他要是不给自己理发则他应该给自己理发。于是，无论是给自己理发还是不给自己理发，都满足不了他自己定的规则 ^[1]。

辅助理解的解释

理发师悖论揭示了一个集合论中的问题，也就是一个包含所有不包含自身的集合的集合是否包含自身。也就是说，下面这样的集合是不可定义的: [math]\displaystyle{ s=\{x \mid x \notin x\} }[/math] 。对于前面定义的集合 [math]\displaystyle{ s }[/math] , 我们问 [math]\displaystyle{ s \in s }[/math] 吗? 如果 [math]\displaystyle{ s \in s }[/math] , 则 [math]\displaystyle{ s }[/math] 不满足定义 (定义要求 [math]\displaystyle{ s \notin s }[/math]) , 因此, [math]\displaystyle{ s \notin s }[/math] ; 如果 [math]\displaystyle{ s \notin s }[/math] , 则 [math]\displaystyle{ s }[/math] 刚好满足了定义, 于是 [math]\displaystyle{ s \in s }[/math] 。于是,我们得到了一个矛盾: [math]\displaystyle{ s \in s }[/math] 和 [math]\displaystyle{ s \notin s }[/math] 都不对^[1]。

这使得数学家开始严格地定义集合，而不是用“一堆互异的明确的东西”来描述集合，最终得到了集合的公理化定义，更完善的给出了什么样的东西算作集合，尤其是排除了导致前面的问题的“包含一切集合的集合”。数学就是这样的：它既接受现实的启发来推动其发展，也受到纯粹的逻辑反思和推理来推动其发展^[1]。