定义和含义

概念的朴素的含义，也就是日常交流中不是追求特别精确的含义，指的是一个对所有人来说含义清晰的词或者短语，有的时候也可以用一个符号来表达，通常这个词或者短语、符号具有相对一致的约定形式。最好一一对应，也就是在同一语言中不同的概念具有不同的名称，不同的名称代表不同的概念，甚至跨语言一旦考虑了语言之间的翻译对应之后也是如此。

更精确的概念通常通过集合来表达，也就是说，概念就是指代对象明确的一个集合名称。不过，更加严格地来说，现代数学的发展发现了集合这个数学概念的定义其本身的问题，因此上面的表述需要被修改为，概念可以通过范畴来定义。

概念通过连词联系到另外一个概念上，形成命题。我们也往往给命题一个名称，把这个名称也看做概念。例如，勾股定理就是一个这样的例子。勾股定理的意思是所有的直角三角形都满足[math]\displaystyle{ a^2+b^2=c^2 }[/math]。但是，当我们给了它勾股定理这个名称之后，第一我们可以更简单地表达其含义用于思考和交流，第二我们还可以把它用来构成更加复杂的命题。例如，“面积关系导出勾股定理”，“勾股定理当做平面几何基本公理”。

这个意义上的概念，一方面，已经不再直接对应着用集合，而是对应着集合之间的关系。因此不再满足我们前面定义的侠义的概念。但是，由于其仍然是含义明确的词短语或者符号，我们仍然接受其作为广义的概念。另一方面我们只需要把我们的命题当做对象，当做集合的元素，那这里的新集合自然也就成了新的概念。