分类:有效数字

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Xiangcao讨论 | 贡献2023年11月30日 (四) 14:57的版本


定义和含义

有效数字,指的是,一个数从第一位不为零的数字开始,到最后一个数字为止,这个数字的个数就称为这个数的有效数字的长度,或者称为有效数字的位数[1]

层次标注

在这里,它属于第二层知识,即学科概念。

辅助理解的解释

当你使用测温计测量体温时,测量结果可能是[math]\displaystyle{ 36.5^{\circ} \mathrm{C} }[/math]。这里的数字"[math]\displaystyle{ 36.5 }[/math]"有三个有效数字,即"[math]\displaystyle{ 3 }[/math]"、"[math]\displaystyle{ 6 }[/math]"和"[math]\displaystyle{ 5 }[/math]"。同理,当你站在体重秤上时,如果秤的显示是25.44千克,那么这里有四个有效数字。

数字的长度,或者称为有效数字的位数。例如[math]\displaystyle{ 2.2 }[/math]的有效数字的位数是[math]\displaystyle{ 2 }[/math][math]\displaystyle{ 2.20 }[/math]的有效数字的位数是[math]\displaystyle{ 3 }[/math][math]\displaystyle{ 0.22 }[/math]的有效数字的位数是[math]\displaystyle{ 2 }[/math][math]\displaystyle{ 0.202 }[/math]的有效数字的位数是[math]\displaystyle{ 3 }[/math][math]\displaystyle{ 0.0022 }[/math]的有效数字的位数是[math]\displaystyle{ 2 }[/math]。此时,你会发现,只要零不出现在第一位,其他位的零都是有效数字的一部分,包括最后的零,因为数位告诉着我们数字的可靠的精确度[1]

为什么要使用有效数字

以下内容摘自《小学数学这样》[1]

从包含了最小单位的整数部分(通常能够准确地直接读出来)、分数部分(通常需要估计)、估计误差和单位的一个测量结果,我们能够反过来知道测量的仪器的最小精度等信息。这是非常有用的。不同的测量任务和目的也会需要我们来决定到底用什么测量仪器。但是,如果我们对这些直接测量记录做一个单位转换,这个信息还能够被读出来吗?单位转换一般来说会移动小数点的位置。例如:

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} L & = & 2.2 \pm 0.5(\text { 厘米 })=22 \pm 5(\text { 毫米 }) \\ & = & 0.22 \pm 0.05(\text { 分米 })=0.022 \pm 0.005(\text { 米 }) \end{aligned} }[/math]

我们还是希望能够读出来哪一位是估计位,所用的测量仪器的最小精度是多少等信息。

我们来看 [math]\displaystyle{ 22.0 \pm 5 }[/math] (厘米) 这个测量记录。从 [math]\displaystyle{ 22.0 }[/math] 看来, 最后一位是 [math]\displaystyle{ 0 }[/math] , 其代表 [math]\displaystyle{ 0.1 }[/math] 厘米。也就是说, 估计出来的是 [math]\displaystyle{ 0.1 }[/math] 厘米那个数, 之前的包含各个位上的数都是准确测量出来的。首先, 这个和我们所用的仪器不相符。其次, 这个也和后面的估计误差的信息不相符: [math]\displaystyle{ \pm 5 }[/math] (厘米)表示, 我们的估计误差是 [math]\displaystyle{ 5 }[/math] 厘米, 而不是在 [math]\displaystyle{ 0.1 }[/math] 厘米的级别上。下面的单位转换是合适的:

[math]\displaystyle{ \left.L=2.2 \pm 0.5(\text { 分米 })=22 \pm 5(\text { 厘米 })=2.2 \times 10^{2} \pm 5 \times 10^{1} \text { (毫米 }\right) }[/math]

其中最后的那个 [math]\displaystyle{ \times 10^{n} }[/math] 的部分,就是科学计数法

有了有效数字的位数的定义, 坚持做单位换算的时候有效数字的位数不变, 同时保持测量结果的最后一位是估计位, 后面还跟着测量误差, 我们就可以在最大程度上保留下来测量仪器的信息。这样使得我们的测量结果更加有信息量, 更加有意义。

有的时候,我们可能会想改变有效数字的位数。这个时候怎么办? 这时候就需要有效数字截断的方法,比如四舍五入


  1. 1.0 1.1 1.2 吴金闪,《小数数学这样学》,浙江人民出版社,2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books

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