分类:矢量空间

来自Big Physics

定义和含义

定义矢量空间先需要一个数域[math]\displaystyle{ F }[/math]。数域上已经有了数和数的乘法([math]\displaystyle{ \alpha \cdot \beta }[/math])、数和数的加法([math]\displaystyle{ \alpha + \beta }[/math])的定义,也有了加法群的单位元[math]\displaystyle{ 0 }[/math][math]\displaystyle{ \alpha + 0=\alpha }[/math])和乘法群([math]\displaystyle{ F/\left\{0\right\} }[/math])单位元[math]\displaystyle{ 1 }[/math][math]\displaystyle{ \alpha \cdot 1=\alpha }[/math])的定义。

一个集合[math]\displaystyle{ V=\left\{u,v,\cdots\right\} }[/math]上面定义了加法([math]\displaystyle{ u + v\in V, \forall u,v \in V }[/math])和数乘([math]\displaystyle{ \alpha u \in V, \forall u \in V, \alpha, \in F }[/math]),并且满足

  1. [math]\displaystyle{ V }[/math]上的加法构成交换群,并且记加法零元为[math]\displaystyle{ \underline{0} }[/math];
  2. [math]\displaystyle{ V }[/math]上的零元和数域的零元适配:[math]\displaystyle{ 0\times u = \underline{0} }[/math];
  3. 线性性:[math]\displaystyle{ \alpha\left(u+v\right)=\alpha u + \alpha v }[/math][math]\displaystyle{ \left(\alpha+\beta\right)u=\alpha u + \beta u }[/math][math]\displaystyle{ \left(\alpha\cdot \beta\right)u=\alpha \left( \beta u\right) }[/math]

就称这个集合为矢量空间。

层次标注

在这里,它属于第二层知识,即学科概念。

辅助理解的解释

矢量空间可以从一维推广到二维、三维甚至多维空间,矢量空间在一维的表示就是数轴、二维的表示就是平面直角坐标系,三维就是三维空间。由此,你可以看到数轴、平面直角坐标系、数轴上的加法、矢量加法、矢量缩放等等这些概念的本质和联系,它们很多都是高维矢量空间中的对象在低维矢量空间中的投影。

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