定义和含义

倒数，指的是，给定两个数a和b，对于任何数a，我们都可以找到一个某种意义上相反的数b，使得 [math]\displaystyle{ a \times b =1 }[/math] 成立，这个时候我们可以说a是b的倒数，同时b也是a的倒数^[1]。

其本质就是乘法逆元。

层次标注

在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

从分数的变换来看倒数

有了分数的概念后，我们可以换个视角来理解倒数^[1]：

因为要满足 [math]\displaystyle{ a \times b =1 }[/math] ，所以我们把a和b整体看作是1。于是我们有 [math]\displaystyle{ c \times a \times b = c }[/math] 。

也就是在一个数c上面先乘以a再乘以b还回到c。 [math]\displaystyle{ c \times a }[/math] 的含义就是把c扩大到它的a倍，也就是把a个c加起来。如果我们要重新得到c，则把这个 [math]\displaystyle{ c \times a }[/math] 分成a份，那么，每一份就正好还是原来的c。根据分数的含义，均匀分成a份取其中的一份，就是分数 [math]\displaystyle{ \frac{1}{a} }[/math] , 因此有 [math]\displaystyle{ b = \frac{1}{a} }[/math] 。

当然，如果我们理解等式的性质，那么我们对于 [math]\displaystyle{ a \times b =1 }[/math] ，我们在等式左右两边除以a，可以得到 [math]\displaystyle{ b = \frac{1}{a} }[/math] ，如果在等式左右两边除以b，可以得到 [math]\displaystyle{ a = \frac{1}{b} }[/math] 。这是从变换和计算的角度来验证我们上面的从含义上的思考没问题。

对于一般数学概念的理解，我们都鼓励你先从含义上想明白，然后再补充其他角度的理解。慢慢体会吧！

乘法逆元

倒数，其实就是在实数集上的乘法逆元，这其实是倒数的定义。如果你理解了这个层面，那么你就基本上掌握倒数了。

我们知道，乘法单位元是一，在实数集上，给定任意一个实数a，我们可以找到那个实数关于乘法的逆元b，也就使得[math]\displaystyle{ a \times b = 乘法单位元 = 1 }[/math] ，于是为了给这样一个和数a一一对应的数b一个名称，我们称满足这样关系的数b是数a的乘法逆元。同样，也可以称数b是数a的乘法逆元。于是我们有，数a和数b互为彼此的乘法逆元。

这样的视野，是更抽象的，更一般的视野。希望你可以尽量去理解和体会这样的视野，帮助你从小就学会像数学家一样去看待世界。