朴素的定义和含义

连续性，朴素来说，指的是，一个东西和另外一个连着, 或者说, 一个东西的内部的一部分连着这个东西的另一部分。但是, 这个概念非常难以形式化^[1]。

定义和含义

在函数的连续性上, 我们可以依赖于极限的概念。当我们讨论一个函数 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] 在 [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math] 点是否连续的时候, 我们可以去看看, 一旦我们忘记 [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math] 这个点的函数值, 仅仅从旁边其他点的函数值来看, 是不是可以通过极限 [math]\displaystyle{ \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) }[/math]重新来得到一个函数值, 并且这个函数值和[math]\displaystyle{ f\left(x_{0}\right) }[/math]相同。但是, 这样定义的连续性非常依赖于极限^[1]。

在变换和不变量的角度下，我们把函数看作对集合的映射，可以发现，连续是把一个开集映射为一个开集，也就是保持集合的开性不变的变换^[1]。

层次标注

在这里，它属于第三层知识，即学科大图景。

辅助理解的解释

由于连续和可微——也就是上面提到的变化率和累积量的关系，体现了分解和综合，是如此地重要，我们希望把这两个概念能够不断地推广到更加一般的系统中去，例如微分流形中，而不是仅仅在实数空间上。对于这个目的，变换和不变量的看问题的角度就非常地重要了。当然，这同时也体现了连续和可微本身在数学中的重要地位。