单独标注V.S.分解和综合标注

对一道题作单独标注，意味着搞清楚这道题的求解过程，或者说各种求解过程，然后，分析求解过程中所用到的各个层次的知识，把这些知识的层次都逐一标注。例如2022北京中考题的层次标注中的每一个例子。

对一道题作分解和综合标注，意味着在完成单独标注以后，把每一个单一知识点的典型题目也拿出来，或者说和目标题目相比仅仅在单一知识点上有差别的题目也拿出来，供学习者来完成这些单一知识点问题、差单一知识点的问题，从而找到如果目标问题不会做，到底原因在哪里。

这样的分解和综合标注的好处是，老师和学生可以直接拿着这样的标注作诊断性学习。

但是，从系统性的角度来看，如果我们每一道题本身都做好了单独标注，又有大量的这样标注好的题，我们总是可以在系统里面来选择单一知识点的题，和差单一知识点的题，来完成上面的诊断任务。因此，原则上，这个分解和综合标注不需要单独完成。然而，在我们有这样的广泛的单一标注题库之前，分解和综合标注，还是很有意义的。可以直接推广给老师和学生来作这样的标注。

举例

原始问题[math]\displaystyle{ T_{0} }[/math]：已知从单一的感染病毒的计算机开始，经过两代的病毒传播，总共被感染的计算机数量为[math]\displaystyle{ 81 }[/math]。请问经过三代传播以后，总被感染的计算机数量大概是多少？

我们先来完成单独标注。

1. 解题思路：由于题目是问大概，我们先用一个最简单的病毒传播模型——独立接触传播。也就是，对于计算机病毒的传播，从单一感染病毒的计算机——也就是第零代——开始，假设每一代每一台电脑感染[math]\displaystyle{ n }[/math]台新电脑，则第一代新感染的数量为[math]\displaystyle{ n }[/math]，合计感染的电脑为[math]\displaystyle{ (n+1) }[/math]（算上第零代它自己）。则第二代新感染的数量为[math]\displaystyle{ (n+1)n }[/math]（每一台已经感染的电脑都要转染病毒），合计感染的电脑为[math]\displaystyle{ (n+1)n+(n+1)=(n+1)^2 }[/math]（算上第零代和第一代）。于是，第三代新感染的数量为[math]\displaystyle{ (n+1)^2n }[/math]（每一台已经感染的电脑都要转染病毒），合计感染的电脑为[math]\displaystyle{ (n+1)^2n+(n+1)^2=(n+1)^3 }[/math]（算上第零、一、二代）。在这个最简单的模型下，题目中已知[math]\displaystyle{ (n+1)^2=81 }[/math]，则[math]\displaystyle{ n=8 }[/math]，于是第三代合计感染的数量为[math]\displaystyle{ (n+1)^3=729 }[/math]。

1. 知识点：圆锥的定义
2. 知识的层次：圆锥的定义属于第一层次的知识——事实性知识（勉强可以算学科概念知识，但是，由于这个知识点的考察方式导致这里根本不需要这个知识点和其它任何知识点的联系，完全可以不懂任何数学，通过套这个定义来完成，所以，只能算事实性知识——也就是记住了这个知识则能做出来，否则不能）
3. 考察方式所对应的学习方法：死记硬背。如果非得搞得有点理解，其实也是可以的，那就是一道语文题——圆锥，有“圆”和“锥”（底下宽上面尖）两个字，因此必然是那个既包含了圆的因素又是个锥形的东西。
4. 解题方法：直接套用
5. 难度：直接套用，完全不需要思路。非常简单。1