单独标注V.S.分解和综合标注

对一道题作单独标注，意味着搞清楚这道题的求解过程，或者说各种求解过程，然后，分析求解过程中所用到的各个层次的知识，把这些知识的层次都逐一标注。例如2022北京中考题的层次标注中的每一个例子。

对一道题作分解和综合标注，意味着在完成单独标注以后，把每一个单一知识点的典型题目也拿出来，或者说和目标题目相比仅仅在单一知识点上有差别的题目也拿出来，供学习者来完成这些单一知识点问题、差单一知识点的问题，从而找到如果目标问题不会做，到底原因在哪里。

这样的分解和综合标注的好处是，老师和学生可以直接拿着这样的标注作诊断性学习。

但是，从系统性的角度来看，如果我们每一道题本身都做好了单独标注，又有大量的这样标注好的题，我们总是可以在系统里面来选择单一知识点的题，和差单一知识点的题，来完成上面的诊断任务。因此，原则上，这个分解和综合标注不需要单独完成。然而，在我们有这样的广泛的单一标注题库之前，分解和综合标注，还是很有意义的。可以直接推广给老师和学生来作这样的标注。

举例

原始问题[math]\displaystyle{ T_{0} }[/math]：已知从单一的感染病毒的计算机开始，经过两代的病毒传播，总共被感染的计算机数量为[math]\displaystyle{ 81 }[/math]。请问经过三代传播以后，总被感染的计算机数量大概是多少？

我们先来完成单独标注。

单独标注

1. 解题思路：由于题目是问大概，我们先用一个最简单的病毒传播模型——独立接触传播。也就是，对于计算机病毒的传播，从单一感染病毒的计算机——也就是第零代——开始，假设每一代每一台电脑感染[math]\displaystyle{ n }[/math]台新电脑，则第一代新感染的数量为[math]\displaystyle{ n }[/math]，合计感染的电脑为[math]\displaystyle{ (n+1) }[/math]（算上第零代它自己）。则第二代新感染的数量为[math]\displaystyle{ (n+1)n }[/math]（每一台已经感染的电脑都要转染病毒），合计感染的电脑为[math]\displaystyle{ (n+1)n+(n+1)=(n+1)^2 }[/math]（算上第零代和第一代）。于是，第三代新感染的数量为[math]\displaystyle{ (n+1)^2n }[/math]（每一台已经感染的电脑都要转染病毒），合计感染的电脑为[math]\displaystyle{ (n+1)^2n+(n+1)^2=(n+1)^3 }[/math]（算上第零、一、二代）。在这个最简单的模型下，题目中已知[math]\displaystyle{ (n+1)^2=81 }[/math]，则[math]\displaystyle{ n=8 }[/math]，于是第三代合计感染的数量为[math]\displaystyle{ (n+1)^3=729 }[/math]。

1. 知识点：病毒传播的背景知识、代数的思想、方程的思想、求解二次方程（平方、平方根）、三次方的计算、代数计算（提取公因式、代数式加法）、数学建模、数学四问（有哪些因素，它们之间的关系，关系的数学表达，要求出来哪些，已知哪些，为什么有这样的关系，为什么这样表达，这题目有其他方法求解吗，这题目考的什么你觉得怎么样）
2. 知识的层次：
   1. 病毒传播的背景知识属于第零层经验（观察过细菌复制、病毒复制），或者第一层事实性知识（被告知的病毒传播的知识）。
   2. 代数的思想、方程的思想、数学建模属于第三层学科典型思维方式和典型分析方法。
   3. 求解二次方程（平方、平方根）、三次方的计算、代数计算（提取公因式、代数式加法）属于第二层学科概念知识，以及第一层程序性知识。
3. 解题方法：把问题变成数学问题，思考的每一步变成数学表达式，然后把已知未知联系起来，最后求解方程
4. 难度：需要数学建模（尽管很简单），需要一定的问题背景知识（尽管很简单），3，中等

分解和综合标注

我们先试试来把病毒的背景知识的难度去掉。顺便把“大概”也去掉。

例如，我们把问题改为[math]\displaystyle{ T_{-1} }[/math]：已知有一种无性繁殖的动物，每次生下来相同数量的后代（或者可以看作是平均来看，每一个这样的动物每一代剩下来的后代的数量）并且自己也还有进一步作无性繁殖的能力，同时新生下来的后代只需要经过一代的时间，也就具有了相同的繁殖能力。。经过两代的繁殖，总共的这种动物的数量为[math]\displaystyle{ 81 }[/math]。请问经过三代繁殖以后，总的这种动物的数量是多少？

解题思路：这个问题的解题思路和上一题完全相同，但是，这里的无性繁殖，很容易画出来图，很容易理解。相比计算机病毒传播，这个无性繁殖更接近学习者经验。如果被试这道题会做，但是之前的不会，则应该就是背景知识的问题。

我们再来把计算过程也简化一点点。

例如，我们把问题改为[math]\displaystyle{ T_{-2} }[/math]：已知有一种细菌每次都把自己分裂成为一定数量的新细菌，经过两代的分裂，总共的细菌的数量为[math]\displaystyle{ 81 }[/math]。请问经过三代分裂以后，总的细菌的数量是多少？

解题思路：对于这个细菌的分裂，从单一细菌——也就是第零代——开始，假设每一代分裂出来的细菌数量为[math]\displaystyle{ n }[/math]，则第一代新产生的细菌的数量为[math]\displaystyle{ n }[/math]，细菌总数也为[math]\displaystyle{ n }[/math]（第零代它自己分裂以后就不存在了，由于这个场景下，累积总数和新生成的每区别，以后就不再分开两种数量来写了）。则，第二代新分裂出来的细菌数量为[math]\displaystyle{ n^2 }[/math]，第三代新分裂出来的细菌数量为[math]\displaystyle{ n^3 }[/math]。题目中已知[math]\displaystyle{ n^2=81 }[/math]，则[math]\displaystyle{ n=9 }[/math]，于是新分裂出来的细菌数量为[math]\displaystyle{ n^3=729 }[/math]。

这个问题和原始的问题相比，保持背景知识也可能更贴近学习者的条件下，表达式要稍微简单一点点。如果被试[math]\displaystyle{ T_{0} }[/math]和[math]\displaystyle{ T_{-1} }[/math]都不会，但是[math]\displaystyle{ T_{-2} }[/math]会，则其问题主要在那个要把上一代单独拿出来考虑这一点上。

我们进进一步来简化问题。

例如，我们把问题改为[math]\displaystyle{ T_{-3} }[/math]：已知[math]\displaystyle{ (n+1)^2=81 }[/math]，请问[math]\displaystyle{ (n+1)^3 }[/math]是多少？

解题思路：这就只剩下方程求解问题了。

例如，我们把问题改为[math]\displaystyle{ T_{-4} }[/math]：已知[math]\displaystyle{ (n+1)^2=81 }[/math]，请问[math]\displaystyle{ n }[/math]是多少，于是[math]\displaystyle{ (n+1)^3 }[/math]是多少？

解题思路：这就只剩下方程求解问题了，并且铺垫了求解的步骤。