分类:原定理逆否定理
定义和含义
原定理([math]\displaystyle{ P=1\Rightarrow Q=1 }[/math],或者记做[math]\displaystyle{ P\Rightarrow Q }[/math],读作“条件[math]\displaystyle{ P }[/math]成立的时候则条件[math]\displaystyle{ Q }[/math]必然成立”)和逆否定理([math]\displaystyle{ Q=0\Rightarrow P=0 }[/math],或者记做[math]\displaystyle{ \bar{Q}=1\Rightarrow \bar{P}=1 }[/math]或者更简单地[math]\displaystyle{ \bar{Q}\Rightarrow \bar{P} }[/math],读作“条件[math]\displaystyle{ Q }[/math]不成立的时候则条件[math]\displaystyle{ P }[/math]也必然不成立”)等价,在数学中是一个非常重要的结论。通常在数学的教和学中,这个结论是当做一个毋庸置疑的类似公理的东西的,但是,实际上,这个是一个定理,完全可以用集合论的语言来证明的。
顺便,如果[math]\displaystyle{ P=1\Rightarrow Q=1 }[/math],我们称[math]\displaystyle{ P }[/math]是[math]\displaystyle{ Q }[/math]的充分条件,并且,正是由于有了原定理和逆否定理的等价性,我们才能说,[math]\displaystyle{ Q }[/math]是[math]\displaystyle{ P }[/math]的必要条件,也就是说如果[math]\displaystyle{ Q }[/math]不成立,[math]\displaystyle{ \bar{Q}=1 }[/math]([math]\displaystyle{ Q=0 }[/math])则[math]\displaystyle{ \bar{P}=1 }[/math]([math]\displaystyle{ P=0 }[/math])。
这里我们用了记号[math]\displaystyle{ \bar{P} }[/math]来表示把一个逻辑变量(布尔逻辑二值变量,取值为0或者1)[math]\displaystyle{ P }[/math]的值反过来的操作,也就是如果[math]\displaystyle{ P=1 }[/math],则[math]\displaystyle{ \bar{P}=0 }[/math],如果[math]\displaystyle{ P=0 }[/math],则[math]\displaystyle{ \bar{P}=1 }[/math]。
概念地图
乘法的概念地图(图的格式将来改成嵌入文本的格式,用户既可以直接下载图,还可以获取这个概念地图的文本文件):
教和学的层次
在定理和逆否定理的关系的教学中,如果主要任务就是让学生记住和会在简单的接近生活的实际场景中运用“定理和逆否定理等价”,则属于第一层教和学——事实性和流程性知识的教和学。例如,在上面的概念地图中,我们用具体的“喝酒的人的年龄必须大于等于18岁”为例,展示了其等价的描述“年龄小于18岁的不能喝酒”。并且,在这个例子上,我们编了一个问题来解决一下,“如果你可以选择”
一旦,我们从这个具体例子,走到更加一般的条件[math]\displaystyle{ P,Q }[/math]的语言,也就是喝酒年龄问题背后的数学概念,则基于这样的从具体到抽象,从抽象到具体的过程的教和学,就是第二层次的教和学。更进一步,可以问这个抽象语言[math]\displaystyle{ P,Q }[/math]表达的定理和逆否定理等价怎么就能够回答要检测什么的问题。这也是第二层次的教和学,不过是用同层次内更加高层的知识来理解同层次内相对浅层的知识。乃至于,再进一步,我们可以追问为什么原定理和逆否定理会等价,然后用集合论的语言来证明和理解这个等价性,这也是第二层次的教和学
如果进一步,从个位数的乘法计算方法,结合多位数的十进制表示、化归的思想——这里是“把多位数的乘法计算化归成个位数的乘法计算”,得到多位数乘法竖式计算的规则,则属于第三层教和学。
如果更进一步,明确指出来,这个用更简单的知识来构建和理解地学习更复杂的知识,这个从具体知识的学习中看到学科思维方式等学科大图景,则属于第四层教和学。
中小学阶段的理解
至少要达到第二层的理解,也就是通过乘法和加法的联系来理解乘法的含义,并且编制个位数乘法计算口诀表。
尽量达到第三层的理解,至少体会一下第三层的理解(不一定会用,会独立推导),也就是用归化的思想把多位数乘法变成个位数乘法。
抽象代数下的含义
在抽象代数范畴内,乘法一般是通过群这个数学结构来定义的。定义为一个集合上[math]\displaystyle{ G }[/math]的一个从[math]\displaystyle{ G\otimes G }[/math]到[math]\displaystyle{ G }[/math]的满足结合律的映射。
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