定义

随机变量指的是这样的变量[math]\displaystyle{ x }[/math]，其往往用于描述某个事物的状态[math]\displaystyle{ \omega }[/math]，而这些状态在重复同样的制备和同样的测量的条件下，会得到不同的测量结果。当然，广义上，我们也可以把确定性的每次得到结果相同的那种变量看做随机变量。因此，上面这个随机变量的定义，更多的是说，存在者超越确定性变量的可能。

当我们需要把事物的状态[math]\displaystyle{ \omega }[/math]和用来代表事物的状态的数学对象[math]\displaystyle{ x }[/math]之间的联系明确指出来的时候，我们也用[math]\displaystyle{ x\left(\omega\right) }[/math]来指代一个随机变量。原则上，这个数学对象可以是一个实数（或者其子集），可以使多个实数构成的向量、矩阵、张量或者更加复杂的结构。

附注1：同样的制备和同样的测量，指的是，我们用同样的流程来生产这个事物或者得到这个事物的状态，然后把这个制备出来的事物放到同样的测量仪器中做步骤相同的测量。

附注2：原则上，我们可以进一步追问，这样的超越确定性的状态是否真的存在，还是说，经过看起来“同样的制备和同样的测量”的事物表现出来不同的测量结果，但是，实际上，是因为我们不能保证这些事物确实经过了完全相同的制备和测量。

附注3：这里的对同一类事物的不同对象做同样的制备和同样的测量过程，有的时候被叫做重复测量，其含义是重复多次独立的测量。有另一种重复测量，在同一个对象上前后多次做同样的测量，被称为前后多次重复测量。

更基本的概念

制备、测量、多次重复测量、前后多次重复测量

在本课程中，在数学的概念范畴内，这些概念用日常语言表示。在物理的概念范畴内，它们可以被定义和数学化。

随机性、随机状态和随机变量之间的关系

在这里，我们实际上把这三个概念放在一起来定义和解释了。但是，原则上，随机性指的是一个事物的对象具有上面解释的随机变量的性质，也就是在相同的制备和测量下仍然显示不同的结果；随机状态指的是这个具有随机性的状态，不管这个状态的数学结构；随机变量指的是用来描述这个随机状态的数学结构。

举例

例如，我们一次次抛出一个硬币（或者同时抛出很多个硬币，或者很多个人每个人独立抛出一个硬币），每次得到的结果肯定是向上（图形）或者向下（数字）的状态之一，但是在观测每次的结果之前，我们只能说，这次的结果既可能是向上也可能是向下。

例如，我们一次次扔出一个六面的骰子，每次得到的结果肯定是编号为1,2,3,4,5,6的面之一，但是，在观测到结果之前，我们只能说，六面中的任何一面都有可能是这次的结果。

例如，一个人的身高，用尺子去做测量，会发现，其实不同的日子，甚至同一天的上中下午，都会略有不同，甚至，完全由于尺子的精度有限我们不得不做一些估计，或者不能保证每次测量完全垂直于地面和以及视线完全和头顶到尺子的线平行，也会导致不一样的测量结果。

对于上面的两个例子，如果我们保证每次抛出的角度和速度，空气阻力，地球引力等因素都完全一致，则，实际上，最终的硬币的或者骰子的状态是完全确定的（假设测量误差足够小，完全可以区分上和下、1-6）。因此，这样的随机性可以看做是信息不完全，或者说制备过程并不是完全相同，导致的随机性。有的时候，这样的随机性也被称为伪随机性。于是，真随机性指的就是在完全相同的制备和测量下，仍然表现出来不同测量结果的随机性。但是，是否存在这样的具有真随机性的现实世界的对象呢？这是个问题。

对于身高的例子，被测量系统具有一定的由于信息不完全导致的随机性。如果我们完全知道不同的日子、同一天的上下中午是如何影响身高的，则这部分其实不再具有这个意义上的信息不完全导致的随机性。但是，这个时候，我们还是可以忽略这些把不同的日子、同一天的上中下午等因素，强行把这些不同条件下测量得到的结果都看做是同一个随机变量在不同次的测量下得到的结果，则，我们合起来的数据之中，仍然包含了随机性——把多个不同条件下获得的数据混合起来忽略其条件的不同导致的随机性。这其实仍然可以看作是信息不完全导致的随机性。不过，前者是被动的，也就是本来就搞不清楚或者成本太高搞不清楚这些不同条件是什么；后者是主动的，也就是分析数据的人根据分析任务的要求认为没有必要搞清楚或者甚至搞得清楚去也没有必要区分这些不同条件。

对于身高的例子，我们还有测量带来的随机性。当然，原则上，硬币和骰子的例子也有测量带来的随机性，不过我们假设这个时候测量的随机性带来的不确定程度不会影响我们对于离散程度如此之高的状态的区分，也就是把上看做下，把编号1的面看做编号3，等等。

因此，随机性，原则上，可以有系统本身的内秉随机性，主动和被动信息不完全导致的随机性，测量带来的随机性。在有的问题中，我们需要区分这些随机性，有些问题中我们不区分这样的随机性。将来我们遇到这样的例子的时候，再来补充。