定义和含义

在集合[math]\displaystyle{ X }[/math]和集合[math]\displaystyle{ Y }[/math]之间，存在着一个这样的[math]\displaystyle{ f(\cdot) }[/math]，任意取一个[math]\displaystyle{ X }[/math]中的元素[math]\displaystyle{ x }[/math]，必然有且只有一个[math]\displaystyle{ Y }[/math]中的元素[math]\displaystyle{ y }[/math]使得[math]\displaystyle{ f(x)=y }[/math]。也就是说，[math]\displaystyle{ f(\cdot) }[/math]这个操作使得[math]\displaystyle{ x }[/math]成了[math]\displaystyle{ y }[/math]。

映射可以是一一的、到上的，还可以是一一到上的。

辅助理解的解释

我们引入集合是为了说清楚概念，说清楚对象。那我们为什么要引入映射呢？实际上，映射对应着操作。对象和操作是我们思考和生活中最经常遇到的。为了使得数学能够帮助我们表达思考和帮助提升生活，我们就专门为它们准备了集合和映射。

例如，我们之前学习的数数以及给事物编个号，就是映射。编了号之后，我们就可以用一个事物的编号来代表这个事物，或者一类事物。而编号实际上就是在事物的集合和数的集合时间建立起来了一个映射。

映射之间还可以复合，称为复合映射。例如，我们可以用[math]\displaystyle{ s\left(L^{-1}\left(2\right)\right) }[/math]来表示“先选定编号为[math]\displaystyle{ 2 }[/math]的铅笔，然后用刀削尖”，其中[math]\displaystyle{ s\left(x\right) }[/math]表示把编号为[math]\displaystyle{ x }[/math]的笔削尖，[math]\displaystyle{ L^{-1}\left(c\right) }[/math]表示找到编号为[math]\displaystyle{ c }[/math]的铅笔，其中用到了给铅笔[math]\displaystyle{ p }[/math]编号的映射[math]\displaystyle{ L\left(p\right) }[/math]和逆映射的概念。

有了复合映射，我们还可以进一步结合一个“如果铅笔小于某个长度，扔掉前面，甚至进一步去重新买一支同样的铅笔”的操作。有了集合、映射、复合映射，这些就都可以用数学符号来表达了。

如果你学习过编程，你会发现，这里的映射和复合映射很像编程里面的函数嵌套调用。实际上，函数就是映射的另一个名字，通常用在数的集合和数的集合之间，而映射往往用于一般的集合之间。