定义和含义

若给定一个数 [math]\displaystyle{ a }[/math] ，有与数 [math]\displaystyle{ a }[/math] 乘积等于 [math]\displaystyle{ 1 }[/math] 的数 [math]\displaystyle{ b }[/math] ，即 [math]\displaystyle{ {a}\times{b}=1 }[/math] ，则称 [math]\displaystyle{ a }[/math] 和 [math]\displaystyle{ b }[/math] 互为倒数，可以说 [math]\displaystyle{ a }[/math] 是 [math]\displaystyle{ b }[/math] 的倒数，也可以说 [math]\displaystyle{ b }[/math] 是 [math]\displaystyle{ a }[/math] 的倒数。

零没有倒数，任意非零数[math]\displaystyle{ a }[/math]的倒数是[math]\displaystyle{ \frac{1}{a} }[/math] 。

辅助理解的解释

可以从分数和除法的含义来得到倒数公式

当[math]\displaystyle{ a }[/math]是一个整数时，[math]\displaystyle{ {a}\times{b}=1 }[/math]，[math]\displaystyle{ b }[/math] 需要满足 [math]\displaystyle{ {c}\times {a}\times{b}=c }[/math]，也就是在一个数 [math]\displaystyle{ c }[/math]上面先乘以 [math]\displaystyle{ a }[/math] 再乘以 [math]\displaystyle{ b }[/math] 还回到 [math]\displaystyle{ c }[/math]。[math]\displaystyle{ {c}\times{a} }[/math] 的含义就是把[math]\displaystyle{ c }[/math]扩大到它的[math]\displaystyle{ a }[/math]倍，也就是把 [math]\displaystyle{ a }[/math]个 [math]\displaystyle{ c }[/math]加起来。如果我们要重新得到 [math]\displaystyle{ c }[/math]，则把这个 [math]\displaystyle{ {c}\times{a} }[/math] 分成[math]\displaystyle{ a }[/math]份，那么，每一份就正好还是原来的 [math]\displaystyle{ c }[/math]。根据分数的含义，均匀分成 [math]\displaystyle{ a }[/math]份取其中的一份，就是分数 [math]\displaystyle{ \frac{1}{a} }[/math]。因此 [math]\displaystyle{ b= \frac{1}{a} }[/math] 。

当 a 是一个分数时，即[math]\displaystyle{ a=\frac{p}{q} }[/math],我们相当于把一个东西分成 [math]\displaystyle{ q }[/math]份取出来其中的 [math]\displaystyle{ p }[/math] 份。我们需要找到合适的 [math]\displaystyle{ b }[/math] 使得[math]\displaystyle{ \frac{p}{q} \times{b}=1 }[/math],对于把一整个东西分成 [math]\displaystyle{ q }[/math] 份之后取出来的 [math]\displaystyle{ p }[/math] 份，我们通过下面的操作就可以回到原来的一整个东西：先把取出来的 [math]\displaystyle{ p }[/math] 份分成 [math]\displaystyle{ p }[/math] 份，这样每一份就是原来分出来的 [math]\displaystyle{ q }[/math] 份的一份；接着，我们将 [math]\displaystyle{ q }[/math] 个这样的一份合起来。整个过程就是先把 [math]\displaystyle{ a=\frac{p}{q} }[/math] 分成 [math]\displaystyle{ p }[/math] 份然后取出来其中的 [math]\displaystyle{ q }[/math] 份，用数学计算来表示，就是 [math]\displaystyle{ \frac{1}{a}=b=\frac{q}{p} }[/math]。

以后无论 [math]\displaystyle{ a }[/math] 是整数还是分数，其倒数都是把分子分母颠倒过来。（其中整数 [math]\displaystyle{ a }[/math] 看作是分数 [math]\displaystyle{ \frac{a}{1} }[/math]）。

学习了四则运算律之后，我们还会运用“等式的性质”、“除法和分数的联系”以及“四则运算律”来重新推导出来倒数的计算公式。

试着用数轴来体会一下，如果倒数要用数轴表示，应该是什么意义？这里值得思考。

顺便，在学会了倒数后，可以再回过头去看看比和分数，体会一下加深的理解。