平行公理

定义和含义

平行公理可以有不同的表述

表述一：过给定的直线外给定的一个点有且只有一条直线和原直线平行。

表述二：如果[math]\displaystyle{ l_1 \mathop{||} l_2 }[/math]，[math]\displaystyle{ l_2 \mathop{||} l_3 }[/math]，则[math]\displaystyle{ l_1 \mathop{||} l_3 }[/math]。

这两个表述互相等价，可以用反证法证明。

辅助理解的解释

实际上，平行线唯一性公理和三角形内角和公理，我们只需要保留其中任意的一条，两者可以相互证明。

我们暂时把三角形内角和公理看作公理，但是从我们的距离公式公理原则上（借助三角函数）可以证明三角形内角和公理，使其成为定理。然后按照这里的等价性，平行公理也成为定理。这样，就至少在原则上，我们从距离公式公理出发，可以构建起来整个几何学的大厦。