这里，要论述和解释的是数学的典型学科责任，也就是数学和世界还有其他学科的关系^[1]。

以下内容摘自《小学数学这样》^[1]：

数学是思维的语言

数学给思维提供了记号，也就是形式化语言，可以做记录，不用都放在脑子里面，所表达的意思也更明确单一，这样可以增加思考的深度，多想几步。

数学使得我们能够用计算来辅助思考:通过对形式化语言的操作，也就是对应着数学概念、公理、定理的符号的计算，我们往往可以把复杂的思考用按部就班的计算来代替。例如，借助于方程和方程的求解，本来需要用构造性方法(例如每只鸡“贴”上两只脚，变成和兔子一样的四只脚的“鸡”)来求解的鸡兔同笼问题可以直接通过代数式的计算得到答案。

数学给思维提供了素材:数学结构以及数学结构的名称，是对常用的典型思维结构的提炼，可以帮助我们做更高阶的这些结构基础之上的思考。例如，有了四边形的概念，我们就可以不用说“由四条边两两首尾相连构成的图形”，甚至可以进一步避免更复杂地来解释什么是边，什么是两两首尾相连。更进一步，有了平行四边形我们就知道在四边形的基础上再加上了额外的对边各自相互平行的条件，以及长方形还代表了四个角是直角于是是“方”的这个额外条件。更进一步，我们还可以看到正方形相当于在长方形的基础上再要求四条边长度都相等(而且由于本来就对边相等了，所以这个仅仅增加了临边相等，而不用从头去检验四条边之间的关系)。所有的这些概念，只要一步一步定义好，我们就可以用它们来辅助和表达思考。我们甚至可以进一步追问，这些每次递进的条件都是必要的吗，以及这些数学结构有什么定义之外的性质这样的问题。例如，我们会发现，从平行四边形到长方形，我们不需要要求四个角都是直角，只要要求一个角是直角，就可以得到其它三个角也是直角。我们也会发现，平行四边形不仅仅会有对边平行的性质，还会有对边相等的性质。当我们把概念、概念关系、数学结构之间的(最小要求的)关系、数学结构的性质都系统性地搞清楚，那么，我们就可以更好地用数学结构来表达和思考了。

数学给思维提供了逻辑体系:以概念和命题(概念之间的关系、命题之间的关系、定理)的形式来呈现知识，从定义、公理到命题需要有严格的逻辑演绎证明，从现象到提出定义、公理和定理可以通过不完全归纳法来启发思考。同时，在通过演绎逻辑所构建的这个知识体系的时候，我们追求知识的系统性，也就是知识之间有联系，并且通过联系尽量从最少的公理(假设)和定义来得到所有的知识。

顺便，科学，也就是把数学用于描述现实以及从现实中抽象出数学结构的过程，还给人类思维配上了另一个武器:实验检验。因此，尽管实验检验不是数学的内在要求，但是，由于其基本概念往往来自对现实的抽象，也经常被用于科学研究也就是描述世界。很多的数学概念往往具有描述现实的能力。

注意，“数学是思维的语言”，实际上还包含了数学的典型分析方法。例如，我们把用字母或者其他符号表示数(以及其他更加复杂的数学结构)，用运算符表示关系，这个用记号来辅助思考的功能，称作代数的思想。在这里，我们把代数的思想看作数学是思维的语言这个数学观的表现形式。

数学是描述世界的语言

一方面，数学概念的提出受到现实的启发，因此所提炼出来的数学结构可以用于描述现实也是很自然的事情。另一方面，人们企图通过思考去描述世界，而数学是思维的语言，因此，数学自然就成了描述现实的语言，于是数学也就成了物理、化学这样的自然科学，甚至经济、管理这样的社会科学的语言。

但是，原则上，数学只关注在给定定义和公理的基础上，后面建立的数学结构是否是逻辑上自洽的(但是，不能保证完备或者说基本就不完备，总有一些命题不能通过这个定义、公理、定理的体系来证明其为真或者为否。也就是说，数学不可能形成完全统一的一套理论，至少得多套相互不兼容的理论才可能具有完备性。

在这里我们稍微偏离一点点主题，讨论一下数学和科学的关系。有人，例如Francis Bacon(弗兰西斯·培根)，问，那如果数学就是这样的建立在定义和公理之上，通过逻辑演绎来获得成体系的定理这样的学问，那，数学会创造新的知识吗?人类的知识毕竟在增加啊。于是，如果基于演绎的数学不创造知识，那我们学数学干什么，用演绎干什么?首先，提出来什么样的定义和公理，其实是受到现实启发的。只要新的定义和公理被提出，新的定理体系被建立，那么，我们的数学知识就是增加了。如果，后来还能够把这样的定义和定理用于描述世界，那么，我们对现实世界的知识也就增加了。其次，就演绎本身，把一个定理在现有的定义和公理的体系中证明出来，和证明出来之前相比，也是数学知识的增加，甚至是高层数学知识，例如数学思维方式的增加。数学发展的历史上经常出现某个定理的证明引发了数学知识的突破的事情。例如，对于费马大定理(Fermat’s Last Theorem)的证明过程就是如此。当然，Bacon通过这个反问突出了从现实归纳出规律和概念的重要性。这个是没有问题的:归纳确实可以启发和促进知识的创造。接着，启发出来的定义、公理、定理、规律，经过基于演绎逻辑的研究，对于科学还需要配合上必要的实验检验，正好可以形成数学和科学的知识。在把数学用于描述世界的时候，我们主要完成的事情就是，给现实世界的对象寻找合适的数学结构来表达，给数学结构寻找对应的现实世界的对象，也就是数学建模。

数学是研究关系和模式的学科

所谓的结构，实际上，就是对象和这些对象之间的某种关系构成的一个可以重复使用的，用来表达思考和描述世界中往往经常出现的模式。在这里，关键词，就是事物通过关系构成模式，被抽象为数学结构。

很多时候，我们用集合和集合上的映射来表示这样的关系。例如，自然数就是一个这样的结构:拥有一些代表整数的符号，它们之间存在着加减乘除运算，甚至它们的每一个(除了0和1它们自己，定义它们自己的方法只能等到高等数学再说明了)可以看作是在0的基础上不断地增加1而得到的。再例如，如果你真的去做对所有的自然数之间的加减乘除运算，你会发现，自然数不够了，需要走到整数，走到分数和小数。

将来，到了高等数学，我们可能会学到专门针对关系和模式发明的数学语言——范畴论。在那里，大量的数学结构会再新的角度下统一起来，进而启发我们发现新的结构，或者这些结构的新的应用。

因此，数学是研究关系和模式的学科。

数学建模和数学建模五步

当我们做数学建模的时候，我们必须保证，在测量精度或者建模目的范围内，通过这个模型所计算出来的结果和测量结果是相符的。一般来说，数学建模需要经过以下五步:一、关注现实世界的对象，提出现实世界的问题，积累对现实世界的对象和现象的数据的理解;二、把现实世界的问题转化为数学问题(在这里，往往要抓住主要矛盾，忽略大量的细节);三、求解数学问题;四、检验答案，检验解法，检验模型;五、问题、模型解法、答案以及其中用到和提出的概念的系统化以及推广。其中，把现实世界的问题转化为数学问题也称为狭义的数学建模。

我们把这个从现象提出问题，把问题转化为数学问题，求解数学问题，通过实验或者实证来检验答案，对求解方法、问题、概念、模型做总结形成系统化的理论的过程称为数学建模五步，或者简称数学五步。

更一般地，任何一个科学的分支学科，不管自然科学还是社会科学(不算人文艺术学科)，其实都可以表达成这样的五个步骤:一、从现象提出可能适合那个学科的问题(依靠那个学科的大图景，尤其是典型研究问题和典型思维方式;二、把问题转化为那个学科的问题(用那个学科的语言来描述);三、求解那个学科的问题(用那个学科的分析方法来求解);四、通过实验或者实证来检验答案;五、对求解方法、问题、概念、模型做总结形成系统化的理论。在这个意义上，我们把这五个步骤称为科学研究五步。