定义和含义

批判性思维，指的是，从来不会把没有经过理性检验的东西接受下来当做进一步思考的基础。其中理性的检验包含逻辑上的检验，例如穷尽所有的可能，还可以包含数学证明、数学计算、实验检验^[1][2]。

对于我们在理解型学习中，我们强调上下左右贯通，在这个过程中，一切的联系的建立，都是需要我们用批判性思维来保障的，因为在我们学习任何新的概念的时候，都要把新学习的概念联系到已经学会的完全可靠的概念(如果不完全可靠，就再继续往前推，找到可靠的更加基本的概念和概念联系)并且找到新旧概念之间最可靠的联系^[1]。

层次标注

在这里，它属于第四层知识，即一般性人类思维。

数学中的批判性思维

以下内容摘自《小学数学这样》^[2]：

证明和计算是数学最重要的论证方式

批判性思维的含义是从来都不把没有经过自己的理性检验的知识来当作下一步思考的基础。理性检验包含演绎证明和实验检验。在此提醒注意，实验检验不是完全逻辑上严格的检验，而是不完全归纳法，或者简称归纳法。

在这世界上，只有两种论证方式是可靠的:演绎证明和计算(计算本质上仍然是演绎证明的形式化)、现实世界的实验检验(经过系统性地多次重复，尝试和考察了影响结果的环境变量之后，在误差范围内，并且追求误差越小越好)。其中，只有演绎证明是逻辑严密的。实验检验和相应的针对有限次(不管进行了多么大的有限次)实验结果的不完全归纳法不能看作逻辑严密的论证，而是只能把一个正面的实验结果(和理论预期相符的实验结果)看作一个努力证明这个理论预期是错的但是没有实现的企图。更准确的名称叫作科学的可证伪性。当然，按照统计推断，越来越多次实验都和理论预期相符，可以提高理论预期正确的可能性。同时，还要注意，就算预测结果完全得到证实，也不能进一步推断理论本身是唯一的，仅仅能够证明这个理论是这个世界的可能的模型之一，至少它给出来的预期得到了证实，或者说，至少是迄今为止都被证实了。在这个意义上，我们也粗糙地把一个理论的预期和迄今为止的实验结果相符称作这个理论通过了实验检验。

顺便，这部分其实是对什么是科学的理解，当我们讨论批判性思维的时候，把批判性思维在数学和科学两者之中的地位放在一起讨论，是很有必要很有意义的。顺便，数学归纳法不是归纳法，实际上是演绎。完全归纳法，也就是把每一个情形都拿出来做一下检验以验证某个结论是否正确，是逻辑上严密的，本质上也是演绎。

如果一定要将不完全归纳当作逻辑思维的一种，那它其实是带概率的演绎，也就是从观测数据、经验中总结出来一个可能成立(肯定性观测结果数量越多，可能性越高)的适用范围更加广泛的类别层面的概念或者结论。也就是说，归纳实际上是运用了统计推断，而统计推断基于概率论，概率论基于演绎逻辑。

但是，当作一个数学概念、定理受现实、经验启发的渠道，归纳具有独立于演绎逻辑之外的意义。在这个意义上，我们也可以把不完全归纳法当作数学的一个典型思维方式。不过，就像我们之前在处理经验和直觉的时候，把它们和抽象放在一起，当作抽象的素材和方向感，我们这里也把归纳法当作演绎证明的素材和方向感。