定义和含义

代数的思想，指的是，我们把用字母或者其他符号表示数(以及其他更加复杂的数学结构)，用运算符表示关系，这个用记号来辅助思考的功能，被称为代数的思想^[1]。

层次标注

在这里，它属于第三层知识，即学科大图景。

代数的思想的简单例子

一个苹果和两个苹果合起来数一数发现有三个苹果，这是具体的数量上的加法。

在你有了数的概念以后，我们可以到数的层面的加法：

在这里，我们关心的是 [math]\displaystyle{ 1 }[/math] 加上 [math]\displaystyle{ 2 }[/math] 等于 [math]\displaystyle{ 3 }[/math] ，也就是 [math]\displaystyle{ 1、2、3 }[/math]这些数。

这时候，如果我们在抽象上更进一步，走向了代数和代数的思想，我们有:

使用字母来表示两个对象，使用运算符来表示它们之间的关系，这就是代数的思想的直接体现，这里的关系就是加法。在 [math]\displaystyle{ a+b=c }[/math] 中，我们关心的是加法本身，而不是具体的数，因此就可以用 [math]\displaystyle{ a，b，c }[/math] 来代替 [math]\displaystyle{ 1+2=3 }[/math] 中的具体的数。这样用字母表示可以任意取值的数量。

这里的 [math]\displaystyle{ a，b，c }[/math] 的字母，就是代数。这里的 [math]\displaystyle{ a+b=c }[/math] 的式子，就是代数表达式。从具体的运算，到抽象的代数表达式，这个过程中就体现了代数的思想。所以严格来说，在没有提出代数以前，加法只能被称为"合起来数一数"，但是有了代数以后，提出了加法的运算律以及其他性质，这时候"合起来数一数"才能被称为加法。

代数的思想的意义

在数的学习中，我们体会到了从算筹到数字的抽象过程，这样的抽象使得我们可以用初步用数学的语言来思考问题，来描述世界。而现在，我们要更进一步，我们不再满足于从算筹到数字的抽象，我们要脱离具体的数字，走向字母，用字母替代具体的数字，用于表达一切适用于当前数学关系的对象。

在这里，有了代数以后，我们对于数学的研究就不再限制于对象了，转而关注对象之间的关系。

代数的思想根源还是来自于抽象，帮助我们认清事物之间的规律和联系^[2]。

比如说，加法就是把两个数a和b加起来，写作 [math]\displaystyle{ a + b }[/math] ，在知道了代数以后，以后可以用字母来代表一个一般的数，它可以用任何一个具体的数来代入^[1]。

同样的，请你试着思考和写下用字母或者符号表示的减法、乘法和除法。

一定程度上来说，它其实是抽象的更具体的表述，是一种使用抽象的对象来替代具体的对象的更一般的思考问题的方式，帮助我们在抽象层面进行思考，从而在思考上走的更深刻走的更远。

代数的出现，使得数学脱离了数量关系的研究，走向了数量之间的普遍关系的研究。具体来说，就是当我们想要研究两个东西的关系时，我们一般会忽略这两个东西本身，在数学上我们不满足于忽略具体的东西进而抽象到数的层面，当我们提及代数时，我们甚至是忽略了具体的数到了字母的层面，也就是在讨论对于很多数都适用的关系。

比如我们从桌子上一个个拿起苹果来数苹果的数量，到我们用手指头来数苹果的数量，其实就已经有了抽象了。我们从具体的东西(苹果)抽象到了可以统一表示数量的东西(手指头)，再更进一步也就是从手指头再抽象到了数。

代数的思想，要求我们在抽象上更进一步，忽略具体的数，用字母来表示任意的数，从而走向数之间的关系，这样的好处在于，凡是满足这个关系的数，我们都可以统一来思考和讨论。这就是代数的思想的威力，有非常强大的统一能力，但是不要忘记，背后本质上依靠的是抽象。

一个例子来体会代数的思想的威力

下面这个例子摘自《小学数学这样学》^[1]：

有两只完全一样的猫，还有一张桌子。左边是一只在地上趴着，一只在桌子上站着。右边是一只在地上站着，一只在桌子上趴着。我也不知道为什么，有人测量出来了两只猫之间的高度差。请你来算算桌子的高度。

我们用字母 [math]\displaystyle{ T }[/math] 表示桌子的高度, [math]\displaystyle{ C_s }[/math] 表示站着的猫的高度, [math]\displaystyle{ C_l }[/math] 表示趴着的猫的高度。注意，这里我们就用了字母来表示数，表示事物的量。我们再来看这些高度和测量出来的高度差之间的关系。

我们发现，左边和右边分别是 :

现在，我们把两个算式相加(请思考为什么可以把两个等式加起来)，得到:

因此 [math]\displaystyle{ T=130(厘米) }[/math]

我们发现，一旦我们去观察两个等式，注意到这两个等式之间的关系 —— [math]\displaystyle{ T+C_s-C_l }[/math] 和 [math]\displaystyle{ T+C_l-C_s }[/math] 的联系，就很容易发现，只要我们把两个等式相加，就可以去掉那些不知道是多少的 [math]\displaystyle{ C_s }[/math] , [math]\displaystyle{ C_l }[/math] 。这样的一个观察，如果我们没有代数的思想——用字母来代表数和算式，是完全不可能得到的。

这些都是数学成为思维的语言的基础。代数的思想是数学中非常重要而且常用的思维方式，毫不夸张的说，代数的思想是迈入新的数学世界，即将起飞的起点^[1]。