定义和含义

三角形内角外角定理，指的是，三角形的外角大于不相邻的内角^[1]。

层次标注

在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

对这个定理进行数学证明(一)

这个定理的证明依靠对顶角相等定理、三角形SAS(边角边)全等判定定理，不依赖于三角形内角和公理^[1]。

以下是摘自《小学数学这样学》的证明内容^[1]：

(图片来源于《小学数学这样学》^[1])

证明：如图所示, 我们需要证明[math]\displaystyle{ \angle D C A\gt \angle B A C }[/math] , \[math]\displaystyle{ angle D C A\gt \angle C B A }[/math] 。我们以前者为例，后者同理可得。 选取 [math]\displaystyle{ A C }[/math] 的中点 [math]\displaystyle{ E }[/math] (注意尺规作图可得)，作射线 [math]\displaystyle{ B E }[/math] ，延长，选取点 [math]\displaystyle{ F }[/math] ，使得 [math]\displaystyle{ B E=E F }[/math] 。考虑 [math]\displaystyle{ \triangle A E B }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \triangle C E F }[/math] ，我们有 [math]\displaystyle{ A E=C E }[/math] ， [math]\displaystyle{ \angle A E B=\angle C E F }[/math] (对顶角相等定理), [math]\displaystyle{ B E=E F }[/math] , 根据 SAS 判定定理，我们得到两个三角形全等。于是, [math]\displaystyle{ \angle B A E=\angle F C E }[/math] 。而 [math]\displaystyle{ \angle F C E@@@@ \angle D C A }[/math] ( [math]\displaystyle{ C F }[/math] 在 [math]\displaystyle{ C A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ C D }[/math] 之间), 因此, [math]\displaystyle{ \angle D C A\gt \angle B A E=\angle B A C }[/math]，外角大于不相邻的内角。

对这个定理进行数学证明(二)

然而，我们还可以依靠三角形内角和等于180度公理来证明：

(图片来源于《小学数学这样学》^[1])

证明： 如图所示，我们需要证明 [math]\displaystyle{ \angle D C A\gt \angle B A C }[/math], [math]\displaystyle{ \angle D C A\gt \angle C B A }[/math]。

在三角形 [math]\displaystyle{ \triangle A B C }[/math] 中，三个内角之和是[math]\displaystyle{ 180^{\circ} }[/math] ，也就是:

同时，根据平角的定义有:

两者合起来，有:

也就是外角等于不相邻的两个内角的和。既然是和, 自然更大, 因此, [math]\displaystyle{ \angle D C A\gt \angle B A C }[/math], [math]\displaystyle{ \angle D C A\gt \angle C B A }[/math] , 外角大于不相邻的内角。

其实，这里用了三角形内角和公理之后，我们不仅证明了外角大于不相邻的内角，还证明了外角等于两个不相邻的内角的和^[1]。

在这里，我们发现，用了这个额外的定理，这个外角大于不相邻的内角的结论，相比前面运用三角形全等的证明来说，就更加容易证明了。但是，你要注意，作为一个数学的概念体系，我们在证明每一个定理的时候，都尽量要用最少的定义和公理。这样才能保证将来的概念体系具有更大的适用范围。例如，没准有一天你发现你要去掉三角形内角和公理，那个时候，不依赖这条公理的结论还是成立的，但是依赖这条公理证明出来的结论就需要重新考虑了^[1]。