分类:IOFactor微扰计算

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Jinshanw讨论 | 贡献2017年12月17日 (日) 17:52的版本


IOFactor的定义是在投入产出矩阵[math]\displaystyle{ A }[/math]中去掉第[math]\displaystyle{ k }[/math]行和第[math]\displaystyle{ k }[/math]列得到[math]\displaystyle{ A^{\left(-k\right)} }[/math],然后计算本征值和本征向量。每次重新开始计算本征值和本征向量比较耗资源。另外,还想从理论上看一下这个因子和PageRank等其他广义投入产出分析的指标的关系。于是,我们尝试了微扰计算。

[math]\displaystyle{ A^{\left(-k\right)}=A-\left|k\right\rangle\left\langle k \right|A-A\left|k\right\rangle\left\langle k \right| + \left|k\right\rangle\left\langle k \right|A\left|k\right\rangle\left\langle k \right| }[/math] 也就是 [math]\displaystyle{ \Delta A = -\left|k\right\rangle\left\langle k \right|A-A\left|k\right\rangle\left\langle k \right| + \left|k\right\rangle\left\langle k \right|A\left|k\right\rangle\left\langle k \right| }[/math]


于是,按照一级微扰论[math]\displaystyle{ \Delta \lambda = \frac{\left\langle v \right|\Delta A\left|u\right\rangle}{\left\langle v \right|\left.u\right\rangle} }[/math],本征值的微扰等于(考虑到分母用到了PageRank值[math]\displaystyle{ \left\langle v \right|\left.u\right\rangle=1 }[/math],可简单证明)

[math]\displaystyle{ \Delta \lambda = \left\langle v \right|\left[-\left|k\right\rangle\left\langle k \right|A-A\left|k\right\rangle\left\langle k \right| + \left|k\right\rangle\left\langle k \right|A\left|k\right\rangle\left\langle k \right|\right]\left|u\right\rangle }[/math] 其中,[math]\displaystyle{ \left\langle v \right| }[/math][math]\displaystyle{ \left|u\right\rangle }[/math]分别是[math]\displaystyle{ A }[/math]的本征值为[math]\displaystyle{ \lambda }[/math]的左右本征向量。 [math]\displaystyle{ \Delta \lambda = -v_{k}\left\langle k \right|A\left|u\right\rangle-\left\langle v \right|A\left|k\right\rangle u^{k} + v_{k}\left\langle k \right|A\left|k\right\rangle u^{k} = -v_{k}u^{k}-v_{k}u^{k} + v_{k}A^{k}_{k}u^{k} }[/math]

所以, [math]\displaystyle{ IOF_{k}=-\Delta \lambda = 2v_{k}u^{k}-v_{k}A^{k}_{k}u^{k} }[/math]

这里的第一项实际上是PageRank值。第二项的计算也很简单。可以通过数值实验来检验一下。

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