分类:IOFactor微扰计算

IOFactor的定义是在投入产出矩阵[math]\displaystyle{ A }[/math]中去掉第[math]\displaystyle{ k }[/math]行和第[math]\displaystyle{ k }[/math]列得到[math]\displaystyle{ A^{\left(-k\right)} }[/math]，然后计算本征值和本征向量。每次重新开始计算本征值和本征向量比较耗资源。另外，还想从理论上看一下这个因子和PageRank等其他广义投入产出分析的指标的关系。于是，我们尝试了微扰计算。

[math]\displaystyle{ A^{\left(-k\right)}=A-\left|k\right\rangle\left\langle k \right|A-A\left|k\right\rangle\left\langle k \right| + \left|k\right\rangle\left\langle k \right|A\left|k\right\rangle\left\langle k \right| }[/math] 也就是 [math]\displaystyle{ \Delta A = -\left|k\right\rangle\left\langle k \right|A-A\left|k\right\rangle\left\langle k \right| + \left|k\right\rangle\left\langle k \right|A\left|k\right\rangle\left\langle k \right| }[/math]

于是，按照一级微扰论[math]\displaystyle{ \Delta \lambda = \frac{\left\langle v \right|\Delta A\left|u\right\rangle}{\left\langle v \right|\left.u\right\rangle} }[/math]，本征值的微扰等于（考虑到分母[math]\displaystyle{ \left\langle v \right|\left.u\right\rangle=1 }[/math]）

[math]\displaystyle{ \Delta \lambda = \left\langle v \right|\left[-\left|k\right\rangle\left\langle k \right|A-A\left|k\right\rangle\left\langle k \right| + \left|k\right\rangle\left\langle k \right|A\left|k\right\rangle\left\langle k \right|\right]\left|u\right\rangle }[/math] 其中，[math]\displaystyle{ \left\langle v \right| }[/math]和[math]\displaystyle{ \left|u\right\rangle }[/math]分别是[math]\displaystyle{ A }[/math]的本征值为[math]\displaystyle{ \lambda }[/math]的左右本征向量。 [math]\displaystyle{ \Delta \lambda = -v_{k}\left\langle k \right|A\left|u\right\rangle-\left\langle v \right|A\left|k\right\rangle u^{k} + v_{k}\left\langle k \right|A\left|k\right\rangle u^{k} = -v_{k}u^{k}-v_{k}u^{k} + v_{k}A^{k}_{k}u^{k} }[/math]

所以， [math]\displaystyle{ IOF_{k}=-\Delta \lambda = 2v_{k}u^{k}-v_{k}A^{k}_{k}u^{k} }[/math]