定义和含义

质数，指的是，只有它自己和1两个因数的数。^[1]。

合数，指的是，除了它自己和1两个因数，还有其他因数的数^[1]。

层次标注

在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

辅助理解的解释

在[math]\displaystyle{ 2 \div 2=1 }[/math] 中，1和2是2的因数，并且2只有这两个因数。因此，2是质数。

在[math]\displaystyle{ 3 \div 2=1 \cdots \cdots 1 }[/math]中，3只有1和3两个因数，所以3也是质数。

在[math]\displaystyle{ 4 \div 2=2 }[/math]中，4有1，2和4三个因数，所以4是合数。

质数和合数，这两个简单的概念背后，其实通过这两个定义就把所有的整数划分到"质数空间"和"合数空间"中。类似的，在小学阶段，还有偶数和奇数，这样划分空间的方式，很多时候对于问题解决有非常好的效果，以后慢慢体会。

为什么1不是质数

为什么1不是质数呢？为什么要把1放在质数的定义中说要除去1和它自己本身呢？因为你发现任何一个数都有1这个因数，于是如果把1作为讨论对象放在所有数的因数中，没有增加任何给质数和合数划分空间的信息，而且还额外增加了无用的信息，于是1就被排除在外了，所以1不是质数。

质数是不是无穷无尽的

等你学会了演绎推理后，不妨来思考一下这个问题：质数是不是无穷无尽的？

欧几里得给出了证明，他的证明如下: 设 [math]\displaystyle{ p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{\mathrm{k}} }[/math] 为前 [math]\displaystyle{ k }[/math] 个质数。考虑比所有这些质数的积还大 [math]\displaystyle{ 1 }[/math] 的数 [math]\displaystyle{ n }[/math] , 即 [math]\displaystyle{ n=p_{1} p_{2} \ldots p_{\mathrm{k}}+1 }[/math] 。 [math]\displaystyle{ n }[/math] 要么是一个质数, 要么可以被一个小于它自身的质数整除。如果是后一种情况, 这个质因数不可能是 [math]\displaystyle{ p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{\mathrm{k}} }[/math] 中的任意一个。因为假设 [math]\displaystyle{ p }[/math] 是 [math]\displaystyle{ p_{1}, \quad p_{2}, \ldots, \quad p_{\mathrm{k}} }[/math] 中任意一个数, 将 [math]\displaystyle{ n }[/math] 除以 [math]\displaystyle{ p }[/math] 会有余数 [math]\displaystyle{ 1 }[/math] 。于是可推知 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的任何质因数都会是一个新的质数, 并且比 [math]\displaystyle{ p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{\mathrm{k}} }[/math] 里面所有的质数都大, 但不超过 [math]\displaystyle{ n }[/math] 自己。特别是, 由此可知不存在任何包含所有质数的有限的列表, 因而质数数列会不断延续下去, 永不终结。欧几里得关于质数无穷性的证明是永恒不朽的, 是数学中最受敬仰的证明之一^[2]。

质数具有广泛的应用

现在我们很多的密码加密方式(例如银行的密码加密)，就是因为分解一个非常非常大(通常超过几百位)的质数在一段时间内无法完成的任务。这里就不过多展开了，有兴趣的可以去自行了解。