定义和含义

任意两个点 P, Q 之间的距离按照下面的公式来计算:

[math]\displaystyle{ |PQ|=\sqrt{(x_P - x_Q)^2+(y_P - y_Q)^2} }[/math]

距离公理又被称作欧氏距离或者距离的代数化定义。

有了点和坐标的对应关系，又有了距离的定义，我们可以得到距离和实数之间的对应关系。例如，当我们取 [math]\displaystyle{ y_P=0=y_Q }[/math] (也就是使得 P, Q 点都在x轴上)，我们就得到:

[math]\displaystyle{ |PQ|=|x_P - x_Q| }[/math]

于是，我们发现，[math]\displaystyle{ |PQ| }[/math] 可以取任意的非负实数(因为[math]\displaystyle{ |x_P - x_Q| }[/math]可以取任意的实数)。实际上，这个结果就基本上是几何学 Birkhoff 公理体系的第一条。

辅助理解的解释

在学习过程中我们会发现，距离公式公理（或者称为勾股定理）和三角形内角和公理等价，三角形内角和公理和平行公理等价。要体会到数学的概念是成体系的，通常需要找出来最少数量的定义和公理，然后，来通过数学论证，构建整个数学的概念体系。