分类:矩阵Loentief逆的一些数学
来自Big Physics
研究背景和问题
在广义投入产出分析中,我们经常要计算矩阵的Leontief逆,以及矩阵中去掉一行一列或者某些部分以后的Leontief逆。这里讨论一些关于Leontief逆的有意思的数学结果。
数学结果
我们发现,
- 按照直接联系到间接联系的思路,也就是[math]\displaystyle{ L_{B}=\frac{1}{1-B} }[/math],我们多次重复实际上只能够得到三个不同的矩阵,[math]\displaystyle{ L_{L_{B}}=\frac{1}{1-\frac{1}{1-B}} = 1-\frac{1}{B} }[/math],[math]\displaystyle{ L_{L_{L_{B}}}=\frac{1}{1-\left(1-\frac{1}{B}\right)} = B }[/math]。也就是,间接联系的间接联系的间接联系会回到直接联系。这个结果说明,实际上,不管拿到的是之间还是间接联系的矩阵,实际上,我们都有可能可以找出来那个直接联系,只要多做几次Leontief逆就可以了。是不是还可以识别出来,哪一个是直接矩阵,哪一个是间接矩阵呢?这个数学结果如何在实际问题中发挥作用呢?
- 如果已知[math]\displaystyle{ L_{B_{0}}=\frac{1}{1-B_{0}} }[/math],对于[math]\displaystyle{ B=B_{0}+\Delta }[/math],我们有Dyson方程[1][math]\displaystyle{ L_{B}=L_{B_{0}}+L_{B_{0}}\Delta L_{B}=L_{B_{0}}+L_{B}\Delta L_{B_{0}} }[/math],并且在某些形式的[math]\displaystyle{ \Delta }[/math]的情况下可以解析求解[math]\displaystyle{ L_{B}=\frac{1}{1-B} }[/math]。这个去掉一个部门求逆的计算在HEM中用到,在网络演化学习[2]中用到。应该还有其他实际的例子。
- 实际上,矩阵的本征向量,也存在着微扰论[3]
下一步的工作
- 完成前期论文,表明做这个计算的必要性。
- 推出这个纯粹计算技术(Dyson方程)的文章。
- 未知直接和间接联系的网络的直接结构的推断:按照前面的数学发现,无论多少重的间接矩阵,只能是[math]\displaystyle{ 1-\frac{1}{B}, B, \frac{1}{1-B} }[/math]中的一个(相比[4]的定义,由于我们保留了对角项,实际上更简单了。如果将来想去掉对角项,得到间接矩阵之后再去掉就行),我们提出来,对于任意一个网络,把这三个矩阵都算出来,放在一起,通过比较这三个矩阵来确定哪一个是直接联系矩阵。这个需要在具体例子上试试,看看效果。具体比较来说,可以通过简单对比边的数量,或者用聚类模块化指数,或者其他方式。[4]有一些例子,例如基因网络、合作者网络,可以参考。
如果能够把直接的网络找出来,不管实际上拿到的网络是哪一个(那三个之一),那么,首先我们有了获得直接联系的方法。其次,结合[[:分类:]]我们还能够在这个直接矩阵的基础上,通过把间接联系算出来,来做聚类,这样的一个聚类算法。
参考文献
- ↑ Dyson's equation.
- ↑ Cheng Li, Xiaoxiao Guo, Qiaozhu Mei, DeepGraph: Graph Structure Predicts Network Growth.
- ↑ Tosio Kato, Perturbation Theory for Linear Operators.
- ↑ 4.0 4.1 Soheil Feizi, Daniel Marbach, Muriel Médard & Manolis Kellis, Network deconvolution as a general method to distinguish direct dependencies in networks, Nature Biotechnology 31(8), 2013, 726-733. doi:10.1038/nbt.2635.
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