分类:矢量空间

定义矢量空间先需要一个数域[math]\displaystyle{ F }[/math]。数域上已经有了数和数的乘法（[math]\displaystyle{ \alpha \cdot \beta }[/math]）、数和数的加法（[math]\displaystyle{ \alpha + \beta }[/math]）的定义，也有了加法群的单位元[math]\displaystyle{ 0 }[/math]（[math]\displaystyle{ \alpha + 0=\alpha }[/math]）和乘法群（[math]\displaystyle{ F/\left\{0\right\} }[/math]）单位元[math]\displaystyle{ 1 }[/math]（[math]\displaystyle{ \alpha \cdot 1=\alpha }[/math]）的定义。

一个集合[math]\displaystyle{ V=\left\{u,v,\cdots\right\} }[/math]上面定义了加法（[math]\displaystyle{ u + v\in V, \forall u,v \in V }[/math]）和数乘（[math]\displaystyle{ \alpha u \in V, \forall u \in V, \alpha, \in F }[/math]），并且满足

1. [math]\displaystyle{ V }[/math]上的加法构成交换群，并且记加法零元为[math]\displaystyle{ \underbar{0} }[/math];
2. [math]\displaystyle{ V }[/math]上的零元和数域的零元适配：[math]\displaystyle{ 0\times u = \underbar{0} }[/math];
3. 线性性：[math]\displaystyle{ \alpha\left(u+v\right)=\alpha u + \alpha v }[/math]，[math]\displaystyle{ \left(\alpha+\beta\right)u=\alpha u + \beta u }[/math]，[math]\displaystyle{ \left(\alpha\cdot \beta\right)u=\alpha \left( \beta u\right) }[/math]，

就称这个集合为矢量空间。