分类:群的语言来描述世界和看涌现性

群论所研究的基本对象是变换，一种特殊的运算：维持某些东西不变的情况下能够对系统所做的操作有哪一些，这些操作怎么合起来，是不是存在这些操作的忠实或者粗糙的矩阵表示，以至于操作合起来的运算正好表现为这些矩阵的乘法？

例如，把三个字母的所有排列当作状态，把任意两个位置上的字母的交换当作基本操作（还维持就是这三个字母的排列），可以得到所有的操作的集合，以及这些操作之间的合起来——也就是连续运用——的关系。例如，等边三角形的相对位置看作状态集合，等边三角形的翻转或者旋转（还维持是一个看起来是同一个等边三角形），看作运算，也是一个群。更重要的是，这两个群可能实际上对应着相同的结构。并且，存在着这些群操作的矩阵表示，使得，两个群操作合起来，正好体现为两个对应矩阵的乘法。于是，只要对于给定的群，找到这样的矩阵表示，所有的数学问题就成了矩阵计算的问题了。

这个研究对象看起来很抽象，其实，可以很具体，也可以很普适。例如，这个世界的状态和状态变化，就可以用群论的语言来描述，甚至涌现性也可以用群论的语言来描述。需要找个时间和例子，在这个方面做几个具体工作来体现。现在，先把思考交代在这里。

假设在某一个层次上，世界的状态由一个集合的元素的状态来描述，也就是假设了这些元素自己不再会变成更加基本的单位了。例如，三角形的问题中，三角形本身是不破坏不分解的；三个字母的问题中，三个字母本身是不破坏不分解的。于是，这个世界的状态构成一个集合[math]\displaystyle{ X=\left\{x_{j}\right\} }[/math]。这个时候到下一个时刻甚至任何一个时刻的状态的变化，可以记做[math]\displaystyle{ x_{t}=T_{t\leftarrow \tau}x_{\tau} }[/math]。一个状态变化的过程，既可以记做一个状态的轨道，[math]\displaystyle{ \left(x_{\tau},x_{\tau+1},\cdots, x_{t}\right) }[/math]，也可以记做一个变换的轨道[math]\displaystyle{ \left(T_{\tau+1 \leftarrow \tau},T_{\tau+2 \leftarrow \tau+1},\cdots, T_{t \leftarrow t-1}\right) }[/math]。这里用了离散时间的记号，连续的也是一样的。这也就是说，尽管一般来说，系统的运动方程是用状态变量[math]\displaystyle{ x_{t} }[/math]来表达的，但是，其实也可以用系统的状态变换算符[math]\displaystyle{ T_{t\leftarrow \tau} }[/math]来表达。于是，所有的研究可以表达成为，找到群[math]\displaystyle{ \mathcal{T}=\left\{T_{t\leftarrow \tau}\right\} }[/math]的合适的表示，以及这个有了表示以后的群的运动方程和解的问题。也就是说，整个世界的状态的问题，在假设存在着不再切分的元素的条件下，就是寻找合适的群和这个群的合适的表示的问题。

那么，回到这个假设，任何问题的研究实际上都是有这样一个假设的，并且如果假设在更高一层的时候，解决不了问题，理论模型描述不了系统的行为，则可以考虑再往底下一层来走，建立新的群和群的表示，接着有必要的时候构造合适的动力学。或者说，倒过来也如此，如果我们走到更底下一层发现能够解决问题之后，我们可以尝试回到更高的一层来用更加简单的模型来描述世界。很有可能我们会发现，这个问题可能不需要走到下一层来描述。甚至，我们还会发现，这个上一层的群[math]\displaystyle{ \mathcal{T}^{n} }[/math]及其表示，和，它的相邻的下一层的群[math]\displaystyle{ \mathcal{T}^{n+1} }[/math]及其表示，甚至两者的动力学方程，看起来没有任何明显的联系。这就是涌现性。

因此，群不仅仅是解决物理问题的数学工具，还是描述物理世界的基本数学结构。实际上，量子力学的演化算符和演化算符的动力学方程，就是用这样的语言来描述世界的例子。并且，有一些结果，可以通过群的语言，而不是必须真的把演化算符，也就是群元素和表示，算出来，才能得到。