定义和含义

等差数列，指的是，相邻两个数之间的差完全相同的很多个数构成的数列^[1]。

换句话说，它是一组数列，其中每一项与其前一项之间的差是一个固定不变的常数，这样的一组数列我们称之为等差数列，记作:

其中[math]\displaystyle{ a_n }[/math]是数列的第n项，[math]\displaystyle{ a_1 }[/math]是首项(数列中的第一个数)，[math]\displaystyle{ d }[/math]是公差(每一项与前一项的差)，[math]\displaystyle{ n }[/math]是项数(数列中数的总数)。

层次标注

在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

辅助理解的解释

如果一个数列每一个数都一样，也就是相邻两数差为零，则也可以看作是等差数列^[1]。

等差数列求和

一般来说，等差数列中的数是很多的，如果一个一个去进行加法来求和，将会是很麻烦的。而等差数列的和又经常用到，怎么办？是不是又可以想起一个叫作函数的概念？

我们试着来总结一个这样的求和函数吧。

首先我们需要构造一个等差数列。这时候回到等差数列的含义，关键就是相邻两个数之间的差完全相同。

那么，我们可以有，[math]\displaystyle{ 1+2+3+.....+99 }[/math]这样的有99个数的数列。

如果一个一个顺着加起来，那么这个事情就不像是一件简单的事情。这样一个有规律的事情，一般都可以找到一个恰当的方式去走捷径。但是需要一定的经验和直觉来完成这个"捷径"的构造。

此时我们看看99这个数字，如果再加上1，就正好是100。 100这样的数字的倍数很好计算。此时有没有发现，我们的数列中有99也有1。然后再继续看看98，如果再加上2，也正好是100 ，而我们的数列中也有2 。于是，可以猜测，我们把数列前面的数字和数列后面的数字相加，可以简化我们的计算。 于是我们再回归到更一般的情况，我们把第一个数和最后一个数加起来，把第二个数和倒数第二个数加起来，它们都可以得到相同的值，然后我们最后数一数有多少对这样的配对数就行。于是可以初步有下面的总结：

而配对数又等于总数除以2，因为配对数的含义就是两两结合。那么你可能要问，如果总数是奇数，像上面的数列一样，50就正好没有数和它配对，被剩下了，怎么办？仿佛被抛弃在规律的框架之外了？

我们继续思考，如果像上面那个数列一样，[math]\displaystyle{ 第一个数+最后那个数=1 + 99 = 100 }[/math]，而100正好等于最中间的数50的2倍，于是首尾的两个数相加起来正好就是等于中间数的2倍。就相当于把每个数变成了中间数，而数列的值不变，所以正好用中间数乘以数列的数的总数量就可以了。所以，当数列的个数是奇数的时候，可以写成下面的形式：

由于奇数和偶数就把整数划分完了。所以，理论上我们在整数集上已经讨论完了。

现在，我们看看两个公式是否可以统一？如果不能统一，那就分情况就可以了。但是，如果能统一，那么就非常漂亮了，用一个公式就可以实现复杂问题的求解，多么美妙的一件事情！

我们再看看前面那个总结：

这里配对数正好就等于数列的数的一半，正好就是我们讨论的数列中的数的个数是奇数的情况：

所以，两个公式可以实现统一，写成：

也就写作，

于是，上面是等差数列的求和公式^[1]。

这里，我们带领着大家完全实现了一个非常伟大的公式的创造的过程。其实数学中的每一个问题，都值得你这样去细细品味。

顺便，在最后，我们可以稍微再验证一下这个公式，就用等差为零的数列看看，也就是数列中的每一个数都相等。你会发现，也符合情况。

我可以告诉你，这个公式虽然我们是从整数得到的，但是可以推广到任何数，不只是整数。因为这里我们没有使用到任何关于整数特有的性质，用到的仅仅是数列中数的个数以及相邻两数的差值要相等，其他信息我们不关心，也不影响这个公式。这就是抽象的威力！