分类:广义Ising模型及其应用

Ising模型就是由[math]\displaystyle{ N }[/math]个自旋[math]\displaystyle{ s_{j}=\pm 1 }[/math]构成的一个相互作用强度为[math]\displaystyle{ J=\left(J_{ij}\right)_{N\times N} }[/math]的系统，系统处于状态[math]\displaystyle{ \vec{s} }[/math]的能量满足[math]\displaystyle{ H=-\sum_{ij} J_{ij}s_{i}s_{j} - \sum_{j}h_{j}s_{j} }[/math]。

正面的统计物理学问题是，给定一个[math]\displaystyle{ J }[/math]，[math]\displaystyle{ \vec{s} }[/math]的分布函数会怎样，并且从中计算出来典型的[math]\displaystyle{ \langle s_{j} \rangle_{j} }[/math]（通过均值）以及关联函数[math]\displaystyle{ \langle s_{i}s_{j} \rangle_{ij} }[/math]。正面问题的理论答案由系综理论给出来[math]\displaystyle{ \rho\left(\vec{s}\right)=\frac{1}{Z\left[\beta, J\right]}e^{-\beta H\left(\vec{s}; J\right)} }[/math]。有的时候可以把[math]\displaystyle{ \beta }[/math]吸收进入到[math]\displaystyle{ J }[/math]的符号里面去，这样就省掉了[math]\displaystyle{ \beta }[/math]的记号。归一化系数[math]\displaystyle{ Z\left[\beta, J\right]=\sum_{\vec{s}}e^{-\beta H\left(\vec{s}; J\right)} }[/math]所需要的计算量非常之大。但是，可以证明一旦把[math]\displaystyle{ Z\left[\beta, J\right] }[/math]计算出来很多其他物理量都可以通过对它做某个数学计算例如微分来得到。因此，[math]\displaystyle{ Z\left[\beta, J\right] }[/math]有一个专门的名字：配分函数。

一个反面的问题是，给定一个样本集合[math]\displaystyle{ \left\{\vec{s}\right\} }[/math]，[math]\displaystyle{ J }[/math]的分布函数会怎样，并且从中计算出来典型的[math]\displaystyle{ J }[/math]。反面问题的理论上的答案由Bayesian公式给出来，[math]\displaystyle{ Pr\left( J|\vec{s}\right)=\frac{Pr\left(\vec{s}|J\right)Pr\left(J\right)}{\sum_{J^{\prime}}Pr\left(\vec{s}|J^{\prime}\right)Pr\left(J^{\prime}\right)}=\frac{Pr\left(\vec{s}|J\right)}{\sum_{J^{\prime}}Pr\left(\vec{s}|J^{\prime}\right)} }[/math]。最后一步我们做了一个大概来说不同的[math]\displaystyle{ J }[/math]出现的概率大致相同的假设。就算如此，在[math]\displaystyle{ Pr\left(\vec{s}|J^{\prime}\right) }[/math]里面会出现包含[math]\displaystyle{ Z\left[J\right] }[/math]的项，而这个配分函数的计算非常的困难，于是也不能直接用于求解[math]\displaystyle{ J }[/math]。

科学家们为了解决这个正面和反面的问题提出了大量的方法。例如Metropolis随机抽样方法、转移概率方法、平均场方法、Boltzmann机等。