定义和含义

无理数，指的是，不是有理数的数，也就是不能由两个整数写成分数的形式的数^[1]，或者是不能够写成两个整数之比的形式的数。

有理数和无理数一起构成了实数。

层次标注

在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

辅助理解的解释

从小数那部分的知识我们可以知道，无理数是无限不循环小数，也就是小数部分既不终止也不重复。

无理数的存在本身就是一个问题，如果凭脑袋去想是很难想明白一个无理数究竟是不是分数^[1]，于是我们要使用威力强大的数学思想——演绎推理(在数学上也叫作数学演绎证明)。

我们从一个数的思考开始， [math]\displaystyle{ \sqrt 2 }[/math] ，它可以是边长为1的正方形的对角线的长度，也可以是平方后等于2的平方根(正数平方根)。

这里我们假设[math]\displaystyle{ \sqrt 2 }[/math] 是可以表示为分数\frac{p}{q}的，而且是最简分数，也就是[math]\displaystyle{ p,q }[/math]没有公因数。由于[math]\displaystyle{ (\sqrt 2)^2 = 2 }[/math] ，我们有

所以[math]\displaystyle{ p^2 }[/math]是一个偶数，于是，[math]\displaystyle{ p }[/math]也是一个偶数。如果[math]\displaystyle{ p }[/math]是奇数的话，则[math]\displaystyle{ p^2 }[/math]肯定是奇数。我们设偶数[math]\displaystyle{ p=2k }[/math]，则:

所以[math]\displaystyle{ q^2 }[/math]是一个偶数，于是，[math]\displaystyle{ q }[/math]也是一个偶数。所以，我们得到[math]\displaystyle{ p,q }[/math]都是偶数，至少存在公因数2。这个和[math]\displaystyle{ \frac{p}{q} }[/math]是最简分数矛盾。因此，这一开始的猜测[math]\displaystyle{ \sqrt 2= \frac{p}{q} }[/math]，即[math]\displaystyle{ \sqrt 2 }[/math]是一个分数，是错的^[1]。

在这里，我们用到了排除法或者也叫作反证法的思考方式:先假设某个东西是这样的，然后找出来在这个条件下和已经知道成立的事情相冲突的一个结论，从而断定假设肯定不成立^[1]。

无理数在我们生活中应用很多很广，试着去发现生活中哪些对象的特征体现或者蕴含了无理数。