问题背景

社会学习指的是决策者，或者称为先学习后决策的个体（这个个体可以是个体的人，组织等agent），在综合前人的决策和自己对世界的认知之后做来认知世界并作出决策的过程。

例如，消费者在决定购买某产品的时候，可以基于自己对产品的认知、周围的朋友的是否购买的（甚至购买意愿的）比例、更大的甚至不认识的群体的购买比例来做决定。也就是说，可能是这个消费者自己喜欢，也可能是由于其他人喜欢（自己要么随大流，要么想成为其他人构成的群体的一部分）而购买这个产品。例如，小罐茶、背背佳，百度上卖药的竞价排名。当然，也不是说，只有本身不好的产品可以和需要来运用社会学习的知识和研究结果，iPhone的销售也类似，更大地基于同辈压力，而不完全是靠广告，或者说广告本身的点也在于增加“买我”的同辈压力。

在科学的发展和传播，技术和产品的发明和扩散中，同样存在类似的场景。普通大众采纳了一个科学结论（科学概念、科学方法）可能因为其真的搞懂了这个科学结论的背后的逻辑，也可能是因为周围的其他人，甚至科普作者，甚至科学家，都这么说。甚至，一个科学家决定来做某个科学研究，也可能因为这个科学家真的觉得这个科学问题值得研究，也可能是周围的人都在发这个研究问题的论文，或者社会大众说这个问题特别值的研究。比如内源性心脏干细胞的研究。技术也是如此。

那么，这个社会学习的现象如何用数学模型来描述呢？这样的描述是否可以增加我们对相应的现实现象的理解呢？甚至，是否可以进一步帮助我们更好地解决相应的问题，比如说，让学习者更准确地认知世界从而做出来对于学习者个体的收益或者整个社会的福利最高的决策？

基本数学模型

世界有两个真实状态[math]\displaystyle{ w=\pm 1 }[/math]。任何一个具体的世界只能处于其中之一的状态，相应的概率分别为[math]\displaystyle{ q }[/math]和[math]\displaystyle{ (1-q) }[/math]。

决策者不知道所处的世界到底是什么状态，但是，他会从世界接收到一个信息[math]\displaystyle{ s=\pm 1 }[/math]。这个信息[math]\displaystyle{ s=\pm w }[/math]，相应的概率分别为[math]\displaystyle{ p }[/math]和[math]\displaystyle{ (1-p) }[/math]。[math]\displaystyle{ p\gt 0.5 }[/math]。

决策者[math]\displaystyle{ i }[/math]还可以观测到前人的决策[math]\displaystyle{ a_{j}, i-L_{i}\lt j\lt i }[/math]。特别地，也可以让[math]\displaystyle{ L_{i}=i，i-L_{i}=0 }[/math]，也就是决策者[math]\displaystyle{ i }[/math]还可以观测到前面所有其它决策人的决策。

决策者类型

1. 模仿者：在决策的时候忽略自己的信息，只看其他人的决策信号。例如，[math]\displaystyle{ a_i=\mbox{sign}\left(\sum_{j\lt i}a_{j}\right) }[/math]。
2. 固执者：在决策的时候忽略他人的信息，只看自己收到的世界信号。例如，[math]\displaystyle{ a_i=s_{i} }[/math]。
3. 寻找真相者：直接综合自己收到的世界信号和其他人的决策信号。例如，[math]\displaystyle{ a_i=\mbox{sign}\left(s_{i}+\sum_{j\lt i}a_{j}\right) }[/math]，或者[math]\displaystyle{ a_i=\mbox{sign}\left[s_{i}+\mbox{sign}\left(\sum_{j\lt i}a_{j}\right)\right] }[/math]。其中后者比前者更看重自己收到的世界信号。
4. 完全理性决策者：从其他人的决策信号（[math]\displaystyle{ \vec{a}^{\lt } }[/math]）中，推断出来其他人收到的世界信号（[math]\displaystyle{ \vec{s}^{\lt } }[/math]），然后结合自己收到的世界信号（[math]\displaystyle{ s }[/math]），来作出决策（[math]\displaystyle{ a_{i}=\mbox{sign}\left(\sum_{j\lt i}s_{j}^{\lt }+s_{i}\right) }[/math]）。这个完全理性的计算见^[1]

参考文献