背景、问题和基本定义

在产品使用中，用户关注经过多长的使用时间，在什么样的使用条件下，一个产品还能保持其正常工作状态。这个问题在可靠性工程领域被称为产品的可靠性。

在任意时刻[math]\displaystyle{ t }[/math]，一个系统有两个状态：正常工作状态[math]\displaystyle{ \xi_t=1 }[/math]、不能正常工作的状态[math]\displaystyle{ \xi_t=0 }[/math]。

可靠性是，在[math]\displaystyle{ t }[/math]时刻，或者在[math]\displaystyle{ t-t_{0} }[/math]时间内，通常我们让[math]\displaystyle{ t_{0}=0 }[/math]，在不做外界干预例如维修（也就是如果某个时刻这个系统出问题了，则后续时间仍然处于出问题的状态）的情况下，系统保持工作状态的概率，也就是[math]\displaystyle{ R\left(t\right)=P\left(\xi_{t}=1\right) }[/math]。

工程上，习惯用正常工作时间长度[math]\displaystyle{ T }[/math]来定义，则，可靠性也可以定义为[math]\displaystyle{ R\left(t\right)=P\left(T\gt t\right) }[/math]，也就是这个系统正常工作时间长度[math]\displaystyle{ T }[/math]大于[math]\displaystyle{ t }[/math]的概率。

或者说，用系综的视角，就是对于一开始大量（数量记为[math]\displaystyle{ N }[/math]）的同样的系统来说，经过了[math]\displaystyle{ t }[/math]时候，还能正常工作的比例，[math]\displaystyle{ R\left(t\right)=\frac{N_1\left(t\right)}{N} }[/math]。其中[math]\displaystyle{ N_1\left(t\right)=\sum_{n\in N} \delta_{\xi_{n}\left(t\right),1} }[/math]就是[math]\displaystyle{ t }[/math]时刻仍然处于正常状态的系统的数量。

对于这个问题，原则上只要我们有一个明确的状态演化动力学，也就是在给定环境下，系统的下一个时刻的状态[math]\displaystyle{ \xi_t }[/math]如何依赖于上一个时刻的状态[math]\displaystyle{ \xi_{\tau} }[/math]（[math]\displaystyle{ t\gt \tau }[/math]），记做[math]\displaystyle{ \xi_{\tau}\overset{\Gamma\left(E,t,\tau\right)}{\longrightarrow} \xi_{t} }[/math]，我们就可以算出来上面的[math]\displaystyle{ R\left(t\right) }[/math]。

例如，最简单的情况就是，考虑一个时间离散过程，每过一个单位的时间，系统以一定的概率[math]\displaystyle{ q }[/math]从正常态变成失败态，则[math]\displaystyle{ R\left(t\right)=1-q^{t} }[/math]。

因此，如果一个系统的状态演化过程[math]\displaystyle{ \Gamma\left(E,t,\tau\right) }[/math]完全已知，则问题完全解决。

对于一个不包含内部单元的系统，这个任务比较简单。如果这个系统包含内部子系统，并且内部子系统之间还具有比较复杂的相互依赖的关系，而不仅仅是串联或者并联关系，那这个问题就复杂一些。

当然，原则上，都可以先解决演化过程的描述的问题，然后，来做概率计算。不过，复杂系统的演化本来就是一个复杂问题，因此，我们可能可以尝试另一条道路：先把每个子系统的状态演化的问题解决（注意，这个演化可能其实也依赖于系统内的其他子系统，但是有的时候，可以简化，仅仅考虑那些直接受环境影响的，一定程度上独立的子系统的演化），也就是先算出来子系统[math]\displaystyle{ j }[/math]在[math]\displaystyle{ t }[/math]时刻的[math]\displaystyle{ R_{j}\left(t\right) }[/math]，然后，问，能不能通过从这样的[math]\displaystyle{ \left\{R_{j}\left(t\right)\right\} }[/math]来得到整体系统的[math]\displaystyle{ R\left(t\right) }[/math]。

这样的道路的好处是，时间演化问题只需要在子系统的层面解决，从子系统的正常态概率到整体系统的正常态概率的计算不需要考虑动力学。这样就把动力学和概率传播的问题分解开来了。

下面，我们暂时不再关注子系统动力学的问题，仅仅问，如何从子系统的正常态概率到整体系统的正常态概率。

串联和并联的系统的可靠性

举个两个子系统串联构成整体系统的例子，假设每个系统自己的可靠性是[math]\displaystyle{ R_{1}\left(t\right), R_{2}\left(t\right) }[/math]，则整体系统正常当且仅当两个子系统都正常，于是，[math]\displaystyle{ R\left(t\right)=R_{1}\left(t\right)R_{2}\left(t\right) }[/math]。

当两个子系统并联构成整体系统的例子，则整体系统正常当且仅当两个子系统之一正常，于是，[math]\displaystyle{ R\left(t\right)=1-\left(1-R_{1}\left(t\right)\right)\left(1-R_{2}\left(t\right)\right)=R_{1}\left(t\right)+R_{2}\left(t\right)-R_{1}\left(t\right)R_{2}\left(t\right) }[/math]。

于是，如果所有的子系统的各种依赖关系，最后都可以分解成为串联和并联关系，则问题就解决了。但是，这个分解总是成立的吗？

多个相互依赖的子系统构成的系统的可靠性

例如，考虑下面的系统