背景、问题和基本定义

在产品使用中，用户关注经过多长的使用时间，在什么样的使用条件下，一个产品还能保持其正常工作状态。这个问题在可靠性工程领域被称为产品的可靠性。

在任意时刻[math]\displaystyle{ t }[/math]，一个系统有两个状态：正常工作状态[math]\displaystyle{ \xi_t=1 }[/math]、不能正常工作的状态[math]\displaystyle{ \xi_t=0 }[/math]。

可靠性是，在[math]\displaystyle{ t }[/math]时刻，或者在[math]\displaystyle{ t-t_{0} }[/math]时间内，通常我们让[math]\displaystyle{ t_{0}=0 }[/math]，在不做外界干预例如维修（也就是如果某个时刻这个系统出问题了，则后续时间仍然处于出问题的状态）的情况下，系统保持工作状态的概率，也就是[math]\displaystyle{ R\left(t\right)=P\left(\xi_{t}=1\right) }[/math]。

工程上，习惯用正常工作时间长度[math]\displaystyle{ T }[/math]来定义，则，可靠性也可以定义为[math]\displaystyle{ R\left(t\right)=P\left(T\gt t\right) }[/math]，也就是这个系统正常工作时间长度[math]\displaystyle{ T }[/math]大于[math]\displaystyle{ t }[/math]的概率。

或者说，用系综的视角，就是对于一开始大量（数量记为[math]\displaystyle{ N }[/math]）的同样的系统来说，经过了[math]\displaystyle{ t }[/math]时候，还能正常工作的比例，[math]\displaystyle{ R\left(t\right)=\frac{N_1\left(t\right)}{N} }[/math]。其中[math]\displaystyle{ N_1\left(t\right)=\sum_{n\in N} \delta_{\xi_{n}\left(t\right),1} }[/math]就是[math]\displaystyle{ t }[/math]时刻仍然处于正常状态的系统的数量。

对于这个问题，原则上只要我们有一个明确的状态演化动力学，也就是在给定环境下，系统的下一个时刻的状态[math]\displaystyle{ \xi_t }[/math]如何依赖于上一个时刻的状态[math]\displaystyle{ \xi_{\tau} }[/math]（[math]\displaystyle{ t\gt \tau }[/math]），记做[math]\displaystyle{ \xi_{\tau}\overset{\Gamma\left(E,t,tau\right)}{\rightarrow} \xi_{t} }[/math]，我们就可以算出来上面的[math]\displaystyle{ R\left(t\right) }[/math]。